Как доказать, что полином степени n имеет не более n корней

[IvanX]

Как можно доказывать, что полином степени n имеет не более n корней над полем (или над кольцом с единицей без делителей нуля)?

Первая идея была с помощью определителя Вандермонда.
Пусть $f(x)=a_{n}x^n+\cdots+a_1x+a_0$ имеет $n+1$ различных корней: $x_1, x_2, ..., x_{n+1}$.
Тогда получаем систему линейных уравнений относительно коэффициентов $a_n,...,a_1,a_0$

$$\left\{\begin{aligned} &f(x_1)=a_{n}x_1^n+\cdots+a_1x_1+a_0 = 0 \\ &f(x_2)=a_{n}x_2^n+\cdots+a_1x_2+a_0 = 0 \\ &\qquad\vdots \\ &f(x_{n+1})=a_{n}x_{n+1}^n+\cdots+a_2x_{n+1}+a_0 = 0 \\ \end{aligned}\right.$$

с определителем

$$\begin{vmatrix} x_1^n & x_1^{n-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ x_2^n & x_2^{n-1} & \cdots & x_2 & 1 \\ && \vdots && \\ x_{n+1}^n & x_{n+1}^{n-1} & \cdots & x_{n+1} & 1 \\ \end{vmatrix} = \prod_{1\le i<j\le n+1} (x_i-x_j) \ne 0$$

Поэтому система имеет единственное нулевое решение, т.е. $f\equiv 0$.

Потом подумал, что это можно доказать проще с помощью теоремы Безу:
Если полином $f_n$ степени $n$ имеет корень $x_1$, то $f_n(x)$ делится на $(x-x_1)$, то есть его можно представить в виде $f_n(x)=f_{n-1}(x)(x-x_1)$. Если $f_n$ имеет корень $x_2\ne x_1$, то $f_n(x)$ делится на $(x-x_2)$, а значит с учетом того, что $(x-x_1)$ и $(x-x_2)$ взаимно просты, $f_{n-1}(x)$ делится на $(x-x_2)$, то есть $f_n(x)=f_{n-2}(x)(x-x_2)(x-x_1)$ и т.д. понижаем степень до 0.

В кольце с единицей без делителей нуля деление полиномов возможно, теорема Безу верна. Верно или я что-то упускаю в рассуждениях?

[nnosipov]

IvanX в сообщении #1500764 писал(а):

В кольце с единицей без делителей нуля деление полиномов возможно, теорема Безу верна. Верно или я что-то упускаю в рассуждениях?

А кольцо у Вас коммутативное?

Недавно эта тема обсуждалась: topic144310.html