Эспоненциальное диофантово уравнение

[nnosipov]

Докажите, что все решения уравнения $2^x+3^y=5^z$ в натуральных числах суть $(1,1,1)$ и $(4,2,2)$.

Комментарий. а) Сегодня случайно наткнулся на пост http://dxdy.ru/post1353549.html#p1353549 и решил вспомнить про этот сюжет. Действительно, в книжке А.Ю. Эвнина решение довольно громоздкое, поэтому предлагается найти решение покороче. Такое решение есть. б) Обычно такие уравнения оказываются неразрешимыми по некоторому модулю, если значения неизвестных немного отодвинуть от начала натурального ряда. Предлагается найти такой модуль $m$, для которого сравнение $2^x+3^y \equiv 5^z \pmod{m}$ будет неразрешимо при условии $x>4$, $y>2$, $z>2$ (если необходимо, нижние границы для $x$, $y$, $z$ можно отодвинуть подальше, это непринципиально). Естественно, хотелось бы, чтобы модуль $m$ был поменьше. Это дало бы, в некотором смысле, наиболее короткое решение задачи.

[maxal]

Моё решение есть тут: https://artofproblemsolving.com/communi ... 431p307801

А вообще подобные задачи мы здесь неоднократно обсуждали - например:
topic61711.html
topic44444.html

P.S. И есть такая статейка, кстати:
J. L. Brenner, L. L. Foster. "Exponential Diophantine equations". Pacific J. Math. 101:2 (1982), 263-301.

[nnosipov]

maxal в сообщении #1500488 писал(а):

А вообще подобные задачи мы здесь неоднократно обсуждали

Конечно, но у меня до сих пор нет ясного представления о том, как надо решать подобные задачи. Так что это очередной заход.

maxal в сообщении #1500488 писал(а):

Моё решение есть тут: https://artofproblemsolving.com/communi ... 431p307801

Про него я просто забыл (раньше-то видел, конечно). Кстати, нашелся модуль поменьше: имеем $2^x+3^y \not\equiv 5^z \pmod{1632}$ при $x \geqslant 5$, $y \geqslant 0$, $z \geqslant 0$. Хоть какой-то прогресс.

Похоже, при конструировании "волшебного" модуля можно использовать разные подходы. Позже напишу свое решение.

[maxal]

nnosipov в сообщении #1500592 писал(а):

Кстати, нашелся модуль поменьше: имеем $2^x+3^y \not\equiv 5^z \pmod{1632}$ при $x \geqslant 5$, $y \geqslant 0$, $z \geqslant 0$. Хоть какой-то прогресс.

Могу подтвердить, что это минимальный подобный модуль. И, кстати, $1632 = 8160/5$.

[nnosipov]

Ниже короткое решение задачи без компьютера.

I. Пусть $x=1$. Решим уравнение $2+3^y=5^z$, которое запишем в виде

$$3(3^a-1)=5(5^b-1),$$

где $a=y-1$, $b=z-1$. Если $a=0$, то $b=0$. Далее пусть $a \geqslant 1$ и $b \geqslant 1$.

Так как $3^a \equiv 1 \pmod{5}$, то $a=4a_1$ и $3^a \equiv 1 \pmod{16}$. Значит, $5^b \equiv 1 \pmod{16}$, откуда $b=4b_1$ и $5^b \equiv 1 \pmod{13}$. Тогда $3^a \equiv 1 \pmod{13}$. Следовательно, $a=3a_2$. Таким образом, $a=12a_3$. Но тогда $3^a \equiv 1 \pmod{7}$, а значит, $5^b \equiv 1 \pmod{7}$ и $b=6b_2$. Как следствие, $5^b \equiv 1 \pmod{9}$, что уже невозможно. Итак, единственное решение $(y,z)=(1,1)$.

II. При $x=2$ решений нет. Действительно, из сравнения $4+3^y \equiv 5^z \pmod{8}$ следует, что $z$ нечётно. Но тогда сравнение $4+3^y \equiv 5^z \pmod{3}$ невозможно.

III. Пусть $x \geqslant 3$. Из сравнения $2^x+3^y \equiv 5^z \pmod{8}$ находим, что $y$ и $z$ чётны, $y=2y_1$, $z=2z_1$. Тогда

$$2^x=(5^{z_1}-3^{y_1})(5^{z_1}+3^{y_1}).$$

Поскольку $\gcd{(5^{z_1}-3^{y_1},5^{z_1}+3^{y_1})}=2$, имеем

$$5^{z_1}-3^{y_1}=2, \quad 5^{z_1}+3^{y_1}=2^{x-1}.$$

Из п. I следует, что $(y_1,z_1)=(1,1)$. Отсюда $(x,y,z)=(4,2,2)$.

Раньше для экспоненциальных уравнений с двумя неизвестными (как в п. I) "волшебный" модуль мне всегда удавалось сконструировать из тех простых чисел, что возникали в процессе доказательства. Но, видимо, в случае трех неизвестных такой подход уже может не работать (модуль $1632$ имеет загадочный простой делитель $17$).

-- Чт янв 14, 2021 20:00:51 --

maxal в сообщении #1500682 писал(а):

Могу подтвердить, что это минимальный подобный модуль.

Хорошо, будем знать.