Доказать неравенство

[daniel starodubtsev]

Задача: для положительных $x, y, z$ доказать неравенство $(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geqslant2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

Мои попытки решения: раскрывая скобки в левой части, получаем $\frac{2xyz+x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2}{xyz}$, далее сокращаем двойку с двух сторон, остается неравенство $\frac{x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2}{xyz}\geqslant\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$. Из неравенства $x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+xz^2+yz^2\geqslant6xyz$ следует, что левая часть больше или равна шести. Но при этом из неравенства Коши тоже самое следует и для правой части. Как быть?

[StaticZero]

daniel starodubtsev,
Указание: перейти в исходном неравенстве к новым переменным $p=x/S$, $q=y/S$, $r=z/S$, где $S = x + y + z$.