Не знаю, об этом говорил
v_n или не об этом, но кажется я смог сделать набросок другого доказательства формул Виета.
Итак, пусть есть многочлен

, который разлагается на линейные множители:

. Тогда каждый из элементов

является корнем многочлена

(среди

могут быть одинаковые) и никаких других корней, отличных от

, у

нету.
Знание одних лишь корней не позволяет однозначно восстановить многочлен

. Но если известен еще и коэффициент

, то тогда однозначно восстановить многочлен можно. Собственно, насколько я понял, формулы Виета ровно об этом: зная корни

и старший коэффициент

найти все коэффициенты

многочлена

в его каноническом представлении

.
Тогда, справедлив следующий набор равенств:

Наша цель - найти все

(т.к.

нам дан по условию). А это значит, что надо решить систему

Здесь я сталкиваюсь с очень странным и непонятным мне моментом. Матрица коэффициентов этой СЛАУ является матрицей Вандермонда. Но ведь среди

могут быть одинаковые, а это приведет к тому, что определитель Вандермонда станет равным нулю. А значит эта СЛАУ будет либо несовместна, либо неопределенна. Но формулы Виета из учебника определяют

через

и

однозначно. А здесь получается, что если среди

найдутся одинаковые, то однозначного определения

не будет. Где ошибка?
Если же все

разные, то определитель Вандермонда не равен нулю, а значит данная СЛАУ определенна. Перепишем ее в матричном виде:

, где

- матрица коэффициентов,

,

- столбец свободных членов. Раз

, значит

обратима. Умножим обе части матричного равенства на

слева и получим

.
С помощью формул Крамера получим явные формулы для элементов обратной матрицы:

где

- алгебраические дополнения соответствующих элементов в матрице

.
Осталось найти

. Найдем, для простоты,

(т.е. коэффициент

в каноническом представлении многочлена

).

Я на 100% уверен, что это и есть первая формула Виета. Вот только упростить ее у меня не получается. Все дело в выражениях вида

. Учитывая, что искать надо не только первую формулу Виета, то понятно, что надо научиться упрощать выражения вида

. И это второе место в доказательстве, которое я не осилил. Видно, что такое выражение должно нормально упроститься: внизу стоит определитель Вандермонда, т.е.

. В числителе должно стоять нечто подобное, но что именно, я не могу сказать.
Таким образом, у меня 2 основных вопроса:
1. Где ошибка в рассуждении о неопределенности/несовместности той СЛАУ с нулевым определителем матрицы коэффициентов?
2. Как упростить полученную формулу Виета с алгебраическими дополнениями (ну и вообще, как упрощать выражения вида

)?