Сходимость ряда почти наверное

[Khomie]

Доброго времени суток!
Появилась новая задачка, вызывающая некоторые проблемы. Вот, собственно, и она:
Пусть $\xi_1,\xi_2,... $ - последовательность независимых СВ, а $f_1(t),f_2(t),...$ - соответствующие им ХФ. Доказать, что ряд $\sum\xi_k$ сходится почти наверное тогда и только тогда, когда
$\lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{k=1}^{n}f_k(t)=f(t)$, где $f(t) \in C(0)$.

Моя попытка решения заключалась в следующем:
Обозначим $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\xi_k$ - последовательность случайных величин. Тогда её ХФ представима в виде $f_n(t)=\prod\limits_{k=1}^{n}f_k(t)$.
По условию верно, что существует предел $\lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{k=1}^{n}f_k(t)=f(t)$, причем $f(t) \in C(0)$, то есть предельная функция непрерывна в нуле.
Следовательно, $f(t)$ есть ХФ некоторого распределения S.
По теореме Леви о непрерывности, $S_n\to S$ по распределению при $n\to\infty$.

Но, из сходимости по распределению не следует сходимость почти наверное. Вот тут то я и сел в лужу.

Как всегда, любые идеи и советы приветствуются, а там уж попытаюсь сам додуматься.

[vicvolf]

Итак Вы доказали, что на одном вероятностном пространстве (сумма независимых сучайных величин):

Khomie в сообщении #1495647 писал(а):

По теореме Леви о непрерывности, $S_n\to S$ по распределению при $n\to\infty$.

Я не уверен, но далее может пригодиться Лемма 3 на стр. 123 Боровков "Теория вероятностей". Только строить ничего не надо, так как у Вас уже случайные $S_n,S$ определены на одном вероятностном пространстве, поэтому $S_n \to S$ почти наверное (почти всюду).

[alisa-lebovski]

Сходимость ряда независимых случайных величин происходит с вероятностью 0 или 1. Но если ряд с вероятностью 1 расходится, это противоречит существованию предельного распределения.

[marie-la]

alisa-lebovski
Никак не могу понять, почему так. Мне кажется, расходимость ряда ведь не обязательно значит, что сумма бесконечна. Тогда почему бы характеристическим функциям не сходиться? Вы не могли бы подробнее объяснить? Тоже нужна эта задача.

-- 07.01.2021, 16:32 --

vicvolf
Думаю, что так нельзя. Тогда бы любая сходящаяся по распределению последовательность сходилась бы почти наверное.

[alisa-lebovski]

Да, Вы правы, тут надо еще подумать.

[Otta]

marie-la
Возможно, стоит показать, что для таких рядов сходимость п.н. и слабая равносильны. Ну, если это не было доказано на лекциях, конечно.

[alisa-lebovski]

Otta в сообщении #1499754 писал(а):

для таких рядов сходимость п.н. и слабая равносильны

Да в этом и вопрос. Но я забыла, как это делается, старею...

[Otta]

Оно, конечно, неспортивно, но мне понравилось: прекрасный обзор, посвященный связям различных сходимостей.

[vicvolf]

На стр. 217 Боровкова нашел теорему 4, что сходимость сумм независимых случайных величин по вероятности влечет сходимость почти наверное. Похожую теорему, что сходимость по распределению суммы независимых случайных величин влечет сходимость почти навернон не нашел ни в Ширяеве, ни в Боровкове.

[marie-la]

vicvolf
Я в Лоэве в результате нашла.

-- 11.01.2021, 19:07 --

vicvolf
Сходимость по вероятности получается из сходимости по распределению, поскольку можно показать фундаментальность по вероятности (расписав вероятность по формуле обращения через характеристическую функцию и оценив сверху).