Условность формулы Эйлера

[Someone]

ewert в сообщении #1499401 писал(а):

По существу же она заканчивается гораздо раньше -- ещё при попытке ввести понятие корня.

Это да. Аксиома полноты в чистую алгебру не вписывается. А без неё существование корня не докажешь.

[ewert]

Не помню, говорил я про это здесь или ещё нет.
Тут разные иерархии жульничества.

Да, стандартно ровно так: целочисленные степени (в т.ч. и отрицательные) -- это святое;
затем корни -- ну это всем ежам понятно (хотя строго говоря -- никому пока не понятно);
затем рациональные степени -- тут тоже понятно (и на этот раз честно, если принять корни за чистую монету).

А вот дальше -- затык. Переход к вещественным показателям никаким размахиванием руками уже не реализуешь.
Т.е. если вопрос о корнях ещё можно обойти (дескать, дети, пока поверьте на слово -- потом восполним),
то вещественные показатели уже принципиально требуют серьёзного подхода к теории.

(ну это, конечно, если не махнуть рукой вообще на всё)

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499385 писал(а):

А вот и нет! (Простите, что противоречу).

Просто при вещественном $x$ в формуле

$$e^x=\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$$

возведение в степень аргумента (то есть $x$) производить по Фихтенгольцу, а возведение в степень $e$ -- по этой формуле, тогда не будет порочного круга!

И тогда можно определить вещественную степень числа как разложение этой степени (например, экспоненты) в ряд или (для экспоненты) предел $\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$.

Вы писали о том, чтобы так определять возведение вещественного числа в любую степень, а не только вещественную:

Vladimir Pliassov в сообщении #1499315 писал(а):

Но если считать степенью числа разложение этой степени (например, экспоненты) в ряд или (для экспоненты) предел $\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$, то естественно появляется такое представление о возведении числа в степень, которое отличается от представления, что число, возводимое в степень, берется сомножителем сколько-то раз.

А определять возведение вещественного числа в натуральную степень обычным образом, а потом в дробные и вещественные степени через такой предел, возможно, в теории и можно, но думаю будет очень трудоемко. Задача же не только определить возведение в вещественную степень, но и доказать, что результат будет удовлетворять тем же алгебраическим тождествам, что и привычные степени натуральных чисел.

И причина сложностей понятна. Как же при естественном развитии событий переходят от $e=\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {1}{n}\Big )^n$ к $e^x=\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$? Возводят каждый элемент последовательности справа в вещественную степень $x$ (т.е. вещественная степень вводится еще до этого), потом переносят $x$ под знак предела (при этом нужно будет доказать существование предела по всем вещественным числам, а не только натуральным, что весьма нетривиально), а потом можно вернуться обратно к пределу по натуральным числам. Т.е. переход достаточно сложный, и постулировав его вначале как определение возведения в вещественную степень будет значить перенести его сложности на обоснование того, что такое определение разумно и удовлетворяет всем нужным свойствам.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1499418 писал(а):

Задача же не только определить возведение в вещественную степень, но и доказать, что результат будет удовлетворять тем же алгебраическим тождествам, что и привычные степени натуральных чисел.

Такая задача, несомненно, должна стоять, и мне кажется, что она может быть решена, но сейчас у меня другая задача, скорее педагогическая, чем математическая: найти простой и понятный переход от представления о вещественной степени к представлению о комплексной степени.

Предложение:

1) определить вещественную степень $x$ числа $e$ формулой $e^x=\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$ (или через ряд Тейлора), при этом возведение в степень вещественного аргумента $x$ производить по Фихтенгольцу (то есть другим способом), чтобы не было порочного круга.

2) в формуле $e^x=\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$ вместо вещественного $x$ взять комплексный $x$.

Мне кажется, что это будет простейший из всех возможных переходов. При этом он будет вполне понятным.

[arseniiv]

Так он работает только для $e$, а не произвольного основания. И я уже говорил, что в комплексном случае степень многозначна, а этот предел (или тот неупомянутый ряд) оказывается определяющим экспоненту от $z$, а не $z$-ю степень $e$. В вещественном случае они не различаются, но это не повод путать людей.

-- Чт янв 07, 2021 02:13:17 --

arseniiv в сообщении #1499430 писал(а):

а не произвольного основания

Ну мы можем конечно подставить вместо икса $x \ln a$, но тогда лучше отрефакторить это всё: вот экспонента, а вот мы в неё подставляем $x \ln a$ (или $z \operatorname{Ln} a$). Или всё-таки функциональное уравнение показательной функции использовать. Или ещё что-то прозрачное.

[ewert]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499428 писал(а):

скорее педагогическая, чем математическая: найти простой и понятный переход от представления о вещественной степени к представлению о комплексной степени.

Предложение:

1) определить вещественную степень $x$ числа $e$ формулой $e^x=\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$

Последнего достаточно. Методически определять показательную функцию через второй замечательный предел -- чуть более чем нелепо.

Поскольку показательная функция -- штука идейная. Она определяется своими базовыми свойствами. А вовсе не игрищами с формулками.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499428 писал(а):

Такая задача, несомненно, должна стоять, и мне кажется, что она может быть решена, но сейчас у меня другая задача,

Никакое определение не имеет смысла, если для определяемого понятия вы не можете доказать все нужные свойства. Иначе, опять же, вы просто читаете учебники как научпоп, а не пытаетесь что-то понять и научиться. Но решать вам, вы лучше знаете какие у вас задачи при чтении учебников.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499428 писал(а):

скорее педагогическая, чем математическая: найти простой и понятный переход от представления о вещественной степени к представлению о комплексной степени.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499428 писал(а):

определить вещественную степень $x$ числа $e$ формулой $e^x=\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$

Я не очень понимаю что вы имеете в виду под "педагогическое" и "математическое", но ок.
Важнее то, что вы все же определитесь какая у вас конкретная цель: определение только для комплексной степени или также и для вещественной? Если только для комплексной, то зачем нужно таким же образом определять вещественную степень? Для того, чтобы определение для комплексной степени согласовывалось с оным для вещественной, нет необходимости определять вещественную степень таким же образом. Если есть более простые способы определения, которые позволяют доказать все нужные свойства степени, то лучше использовать их. А потом доказать, что вещественную степень можно выразить данным образом и далее определить ее таким же образом и для комплексной.