Условность формулы Эйлера

[B@R5uk]

arseniiv в сообщении #1499246 писал(а):

Только в случае $m = 0$ надо специально считать, что $x \bmod 0 = x$, ибо эквивалентность по модулю нуля есть равенство.

Это не очень согласуется в пределе. Эквивалентность по модулю бесконечность есть равенство, а по модулю нуля все числа будут друг другу эквиваленты.

[arseniiv]

Есть ещё алгебраический аргумент — для любого ненулевого кольца $R$, $R/0R$ изоморфно не нулевому кольцу, а $R$. Если определить оба mod через естественную проекцию $i_m\colon R\to R/mR$ вот так:
• $a \equiv b \pmod m :\Longleftrightarrow i_m(a) = i_m(b)$;
• $a \bmod m := i_m(a)$;
то опять же случай нуля выходит как выше. Да, он «неровный», но что поделать.

(На языке теории колец эти две штуки даже записываются: $a \equiv b \pmod{mR}$ (по модулю идеала $mR$) и $a + mR$. Это уже просто дополнение для интереса.)

-- Ср янв 06, 2021 02:34:35 --

Это так странно, потому что ноль делится на всё, и в каком-то смысле сродни бесконечности, если посмотреть на решётку натуральных чисел, или идеалов $\mathbb Z$, относительно делимости: снизу 1, уровнем выше простые числа, уровнем выше всякие квадраты и произведения двух разных простых, и так далее, и где-то там на шаге $\omega$ сверху светит на нас 0 тёмными лучами. (Ну, на уровни можно вообще по-разному делить, но слишком хитро всё же не выйдет, и тут это более-менее ради визуальной метафоры всё равно.)

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Говорят, признаком ковида является пропадание запаха и вкуса. Чем я болею, что пропало "мистическое чувство"? Давно причём, если когда и было...

У меня такое впечатление, что Ваши проблемы оттого, что Вы взялись читать учебник по алгебре, автору которого надо было ввести формулу Эйлера, используемую им позднее, как нечто данное. Но поскольку просто постулировать было ему неудобно, он привёл доказательство, причём решил дать его чисто алгебраическими средствами, не прибегая к матанализу - "взойти на Эверест без кислородной маски". Поскольку совсем без не выходит, число e есть некоторый предел, то "подышал кислородом перед подъёмом", использовав Второй Замечательный, а потом только алгебраически.
Но если взять разложение экспоненты в ряд, и считать это разложение определением экспоненты, то подставить мнимый аргумент можно безо всякой мистики, возводить в степень мнимую величину может, делить на вещественное и складывать - тоже. А увидеть в чётных, действительных членах получившегося ряда ряд для косинуса, а в нечётных, мнимых, ряд для синуса - совсем несложно. И если не ставить перед собой "научно-спортивную задачу" доказать, используя ограниченный набор средств - мистика куда-то улетучивается.

[Vladimir Pliassov]

Евгений Машеров в сообщении #1499300 писал(а):

Но если взять разложение экспоненты в ряд, и считать это разложение определением экспоненты,

Здесь, наверное, вот что.

Когда человек, воспитанный на вещественных числах, переходит к комплексным числам, то у него может возникнуть недоумение, потому что он видит, что числа раздваиваются. Однако с точки зрения комплексных чисел в вещественных числах нет ничего особенного.

Если идти от возведения числа в вещественную степень к возведению в комплексную степень, имея в виду, что возведение числа в степень $x$ это взятие его сомножителем $x$ раз, это также может вызвать недоумение.

Но если считать степенью числа разложение этой степени (например, экспоненты) в ряд или (для экспоненты) предел $\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$, то естественно появляется такое представление о возведении числа в степень, которое отличается от представления, что число, возводимое в степень, берется сомножителем сколько-то раз.

Так что в левой части формулы

$$e^x=\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$$

показатель степени означает не то, что основание $e$ надо взять сомножителем $x$ раз, а то, что в правой части $x$ является числителем дроби.

При таком представления о возведении числа в вещественную степень должно быть несложно перейти к возведению числа в комплексную степень.

В своем первоначальном сообщении я изложил взгляд человека, воспитанного на вещественных числах.

Но, мне кажется, что это было и не плохо, потому что в нем я довел до очевидности несоответствие этого взгляда более широкому представлению о возведении числа в степень, так что общественность возмутилась и помогла мне осознать это несоответствие, за что я ей очень благодарен.

(Оффтоп)

Odysseus, вот Вам покаянное письмо, о котором я писал вчера.

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499315 писал(а):

то естественно появляется такое представление о возведении числа в степень, которое отличается от представления, что число, возводимое в степень, берется сомножителем сколько-то раз.

Так ведь тут компексность-то не при чем. В дробную (нецелую) степень ведь тоже нельзя возвести перемножением столько-то раз, если "столько-то" -- не натуральное число.

А начинается этот слом шаблонов еще раньше, при простом умножении (фазу сложения пропустим, но там тоже шаблоны трещат -- при переходе от натуральных к целым). Сначала ребенку говорят, что умножение это многократное сложение. Потом катавасия со знаками ("минус на минус даёт плюс"). А потом оказывается, что умножать можно и нецелые числа. Как так? Но вот на мой взгляд, переход от натуральных к целым, от целых к рациональным, затем к вещественным и затем к комплексным числам, каждый раз с основатальным потрескиванием шаблонов -- ну это как в компьютерных играх со всё усиливающимися боссами в конце каждой локации -- сперва кажется непреодолимым, но вызывает очень сильные эмоции при победе.

[Vladimir Pliassov]

wrest в сообщении #1499318 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1499315 писал(а):

то естественно появляется такое представление о возведении числа в степень, которое отличается от представления, что число, возводимое в степень, берется сомножителем сколько-то раз.

Так ведь тут компексность-то не при чем. В дробную (нецелую) степень ведь тоже нельзя возвести перемножением столько-то раз, если "столько-то" -- не натуральное число.

Спасибо, это было упущение, я там отредактировал (успел).

[B@R5uk]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499315 писал(а):

показатель степени означает не то, что основание $e$ надо взять сомножителем $x$ раз, а то, что в правой части $x$ является числителем дроби.

Нет, икс здесь — аргумент функции "экспонента". Не больше, не меньше. А как эта функция вводится является отдельным вопросом.

-- 06.01.2021, 16:32 --

wrest в сообщении #1499318 писал(а):

каждый раз с основатальным потрескиванием шаблонов -- ну это как в компьютерных играх со всё усиливающимися боссами в конце каждой локации -- сперва кажется непреодолимым, но вызывает очень сильные эмоции при победе.

Только в школе сначала давали босса (что сопровождалось соответствующими эмоциями), а потом жёсткий гринд по локации — отработка навыков использования этого "босса".

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499315 писал(а):

Если идти от возведения числа в вещественную степень к возведению в комплексную степень, имея в виду, что возведение числа в степень $x$ это взятие его сомножителем $x$ раз, это также может вызвать недоумение.

Возведение числа в степень $x$ это НЕ взятие его сомножителем $x$ раз еще даже для вещественных числах, и даже для отрицательных чисел и рациональных дробей. Просто в отношении вещественных чисел вы не задумывались раньше, что там есть какие-то особенности, со школы все казалось понятным и привычным, а задумались только на примере комплексных чисел. Но дьявол во всем этом порылся еще задолго до последних.

Vladimir Pliassov в сообщении #1499315 писал(а):

Но если считать степенью числа разложение этой степени (например, экспоненты) в ряд или (для экспоненты) предел $\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$, то естественно появляется такое представление о возведении числа в степень, которое отличается от представления, что число, возводимое в степень, берется сомножителем сколько-то раз.

Если вы так будете определять возведение в степень еще вещественных чисел, то у вас будет порочный круг, поскольку в самом пределе уже стоит возведение в степень. Не говоря уже о сложении и умножении отрицательных, рациональных и вещественных чисел, которые тоже нужно будет сначала корректно определить, чтобы выражение под знаком предела имело какое-то смысл. Это будут уже не наивные последовательности и прямоугольники из палочек, а нечто другое.

В общем, еще раз рекомендую вам прочитать как сложение, умножение и возведение в степень вещественных чисел вводятся Фихтенгольцем (есть и другие способы в зависимости от того, как вводятся вещественные числа, их можно вводить и не как сечения). Для отрицательных и рациональных чисел эти операции у Фихтенгольца считаются известными, или хотя бы интуитивно более понятными, чем для вещественных чисел, но для них вам тоже нужно будет помнить, что это не та наивная интерпретация, которая есть для натуральных чисел и подумать (или прочитать где-то) о ней тоже.

[arseniiv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499315 писал(а):

Однако с точки зрения комплексных чисел в вещественных числах нет ничего особенного.

Кстати вообще-то есть, если мы не забываем всю имеющуюся там структуру. Вещественная прямая выделена соотношением $z = \bar z$. Вот если сопряжение использовать запретить, тогда интересно.

[Vladimir Pliassov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499315 писал(а):

Так что в левой части формулы

$$e^x=\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$$

показатель степени означает не то, что основание $e$ надо взять сомножителем $x$ раз, а то, что в правой части $x$ является числителем дроби.

B@R5uk в сообщении #1499335 писал(а):

Нет, икс здесь — аргумент функции "экспонента". Не больше, не меньше. А как эта функция вводится является отдельным вопросом.

Я понимаю Вашу мысль, и это очень ценная мысль, но согласитесь, что в данном случае, то есть не вообще для экспоненты, а в приведенной формуле, показатель степени в левой части означает именно ту величину, которая в правой части является числителем дроби.

-- 06.01.2021, 19:09 --

Odysseus в сообщении #1499340 писал(а):

Если вы так будете определять возведение в степень еще вещественных чисел, то у вас будет порочный круг, поскольку в самом пределе уже стоит возведение в степень.

Так что же делать? Я посмотрел: в определении экспоненты через ряд Тейлора тоже задействованы степени аргумента.

Я знаю, Вы меня отошлете к учебникам, но не можете ли хотя бы сказать, есть ли надежда? То есть возможно ли избавиться от этого порочного круга и определить возведение в степень, не используя возведение в степень?

Как сложение, умножение и возведение в степень вещественных чисел вводятся Фихтенгольцем, сейчас же посмотрю.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499366 писал(а):

Я знаю, Вы меня отошлете к учебникам, но не можете ли хотя бы сказать, есть ли надежда? То есть возможно ли избавиться от этого порочного круга и определить возведение в степень, не используя возведение в степень?

Как сложение, умножение и возведение в степень вещественных чисел вводятся Фихтенгольцем, сейчас же посмотрю.

Конечно можно, иначе бы его никогда не смогли ввести :) Идея простая: если считать эти операции определенными для рациональных чисел и вводить вещественные числа как сечения на множестве рациональных чисел, то сумма, произведение и степень вещественных чисел определяются как точные верхние грани суммы, произведения и степени всех тех рациональных числах, которые меньше данных вещественных чисел.

Существование вещественных чисел соответствующих таким определениям следует из доказанной перед этим теоремы о существовании точной верхней грани у любого непустого ограниченного множества вещественных чисел, и далее проверяется их единственность и соответствие необходимым правилам для таких операций (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, согласование с порядком). В Фихтенгольце, т.1 это подробно разобрано во Введении, но чтобы все понять вам нужно будет изучить Введение с начала и целиком.

[ewert]

mihaild в сообщении #1499190 писал(а):

не уверен, что все теоремы, нужные для аналитического продолжения, доказываются без использования экспоненты

Будьте уверены -- общие свойства понятия аналитичности (или регулярности, или голоморфности; неважно, что принимать за формальную точку отсчёта) ровным счётом никак не привязаны ни к каким конкретным комплексным функциям. Ну разве что про линейную функцию надо, наверное, знать, что она аналитична; эту мощную теорему и впрямь придётся доказать.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1499340 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1499315 писал(а):

Но если считать степенью числа разложение этой степени (например, экспоненты) в ряд или (для экспоненты) предел $\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$, то естественно появляется такое представление о возведении числа в степень, которое отличается от представления, что число, возводимое в степень, берется сомножителем сколько-то раз.

Если вы так будете определять возведение в степень еще вещественных чисел, то у вас будет порочный круг, поскольку в самом пределе уже стоит возведение в степень.

А вот и нет! (Простите, что противоречу).

Просто при вещественном $x$ в формуле

$$e^x=\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$$

возведение в степень аргумента (то есть $x$) производить по Фихтенгольцу, а возведение в степень $e$ -- по этой формуле, тогда не будет порочного круга!

И тогда можно определить вещественную степень числа как разложение этой степени (например, экспоненты) в ряд или (для экспоненты) предел $\lim \limits_{n\to \infty}\Big (1+\frac {x}{n}\Big )^n$.

-- 06.01.2021, 20:34 --

arseniiv в сообщении #1499355 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1499315 писал(а):

Однако с точки зрения комплексных чисел в вещественных числах нет ничего особенного.

Кстати вообще-то есть, если мы не забываем всю имеющуюся там структуру. Вещественная прямая выделена соотношением $z = \bar z$. Вот если сопряжение использовать запретить, тогда интересно.

Да, теперь вижу.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1499366 писал(а):

Odysseus в сообщении #1499340 писал(а):

Если вы так будете определять возведение в степень еще вещественных чисел, то у вас будет порочный круг, поскольку в самом пределе уже стоит возведение в степень.

Так что же делать? Я посмотрел: в определении экспоненты через ряд Тейлора тоже задействованы степени аргумента.

Я знаю, Вы меня отошлете к учебникам, но не можете ли хотя бы сказать, есть ли надежда? То есть возможно ли избавиться от этого порочного круга и определить возведение в степень, не используя возведение в степень?

Возведение действительного числа в степень с целым показателем и в степень с произвольным действительным показателем — это совершенно разные действия. Вообще, маршрут к общему понятию степени с действительным показателем такой: степень с натуральным показателем $\to$ степень с целым показателем $\to$ корень $n$-ой степени (с натуральным $n\geqslant 2$) $\to$ степень с рациональным показателем (здесь алгебра заканчивается) $\to$ степень с действительным показателем.

[ewert]

Someone в сообщении #1499398 писал(а):

корень $n$-ой степени (с натуральным $n\geqslant 2$) $\to$ степень с рациональным показателем (здесь алгебра заканчивается)

"Здесь" -- только на уровне игры значками. По существу же она заканчивается гораздо раньше -- ещё при попытке ввести понятие корня.