Шарик на спице

[fred1996]

Предлагается для разбора следующая задача.
Пусть у нас в невесомости есть ось вращения, к которой прикреплена невесомая длинная спица перпендикулярно оси вращения. По спице может свободно без трения перемещаться шарик массы $m$ и радиуса $r$ с моментом инерции $I=\beta mr^2$
В начальный момент шарик находится на расстоянии $a$ от оси вращения. Спица с шариком свободно крутится с начальной угловой скоростью $\omega_0$ Вокруг выбранной оси. Шарик имеет нулевую радиальную скорость.
Надо найти угловую скорость вращения спицы (и шарика) как функцию расстояния от оси и радиальную скорость. А так-же момент сил, действующих на шарик и силу, действующую на спицу со стороны оси.
Я публикую эту задачу чисто в учебных целях, чтобы продемонстрировать, как такая задача решается любителям физики не с этого форума. Мне они почему-то не верят. Да и в учебных целях, мне кажется, задачка не плохая. Хотя на олимпиадность явно не тянет.

[EUgeneUS]

Правильно ли понимаю, что вот здесь:

fred1996 в сообщении #1498936 писал(а):

По спице может свободно без трения перемещаться шарик

имеется в виду, шарик скользит вдоль спицы, и в СО спицы вращаться не может?

[realeugene]

(Оффтоп)

Угловая скорость вращения шарика равна угловой скорости вращения оси. Функциональную связь угловой скорости от расстояния шарика от оси находим тривиально из закона сохранения момента импульса системы относительно оси. Затем, радиальную скорость шарика - из закона сохранения кинетической энергии системы. Момент сил, действующих на шарик - продифференцировав угловую скорость вращения шарика с учётом известной радиальной скорости. Сила, действующая со стороны оси - из суммарного нулевого момента сил, действующего на невесомую спицу относительно центра шарика. Но вот проинтегрировать вручную уравнение движения шарика я не возьмусь.

Умный школьник должен решить такую задачу, как мне кажется. Задача на применение цепочки простых законов.

А зачем нам тут радиус шарика, если нам дан его момент инерции?

[fred1996]

EUgeneUS в сообщении #1498938 писал(а):

Правильно ли понимаю, что вот здесь:

fred1996 в сообщении #1498936 писал(а):

По спице может свободно без трения перемещаться шарик

имеется в виду, шарик скользит вдоль спицы, и в СО спицы вращаться не может?

Именно так. Спица проходит через центр шарика.

-- 04.01.2021, 13:29 --

realeugene
Действительно, проинтегрировать в элементарных функциях не удастся. Но в ответе момент инерции шарика относительно оси зависти от расстояния от оси и радиуса шарика.
Я буду очень благодарен кому нибудь, если не в лом, кто выложит полное решение. Поверьте мне важно, чтобы это был не я.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1498943 писал(а):

А зачем нам тут радиус шарика, если нам дан его момент инерции?

Если момент инерции задан в таком виде, то масса много где сократится.

fred1996 в сообщении #1498971 писал(а):

Я буду очень благодарен кому нибудь, если не в лом, кто выложит полное решение. Поверьте мне важно, чтобы это был не я.

Надеюсь, что модераторы не будут сомневаться, что Вы это также в состоянии сделать, ПРР(ф), все таки

(Оффтоп)

$R$ - расстояние от цм шарика до оси вращения.
$J(R) = m(R^2 + \beta r^2)$ - момент инерции шарика относительно оси вращения

Момент импульса сохраняется:
$L= J(R) \omega = L_0 = J(a) \omega_0$
$\omega = \omega_0 \frac{J(a)}{J(R)} = \omega_0 \frac{a^2 + \beta r^2}{R^2 + \beta r^2}$

Кинетическая энергия сохраняется:
$E = \frac{J(R) \omega^2}{2} + \frac{m v_r^2}{2} = E_0 = \frac{J(a) \omega_0^2}{2}$
$v_r = \omega_0 \sqrt{\frac{J(a)}{m} (1 - \frac{J(a)}{J(R)})} = \omega_0 \sqrt{(a^2 + \beta r^2)(\frac{R^2 - a^2}{R^2 + \beta r^2})}$

Но Вы уж расскажите, что у Вас там за интрига произошла ;)

[fred1996]

EUgeneUS
realeugene
Спасибо за помощь.

(Оффтоп)

просто на некоторых форумах народ интересуется физикой тоже. И вот я предложил там задачу сначала с шариком и спицей, вращающейся с постоянной угловой скоростью. Ее решение не вызвало особых возражений. Но вот когда начали решать задачу со свободно вращающейся спицей, один весьма уважаемый человек, который до того проявлял достаточную компетентность в вопросах механики, вдруг начал резко сомневаться, почему это в этой задаче сохраняются энергия и угловой момент. Все мои доводы о том, что в таких задачах, где отсутствуют силы трения а другие силы считаются абсолютно упругими, соблюдается закон сохранения энергии. Ну и если внешние силы ещё и центральные, тем более приложенные на самой оси вращения, то и момент количества движения сохраняется, вдруг резко принял в штыки. Начал обзываться нехорошими словами. Вот я и воспользовался помощью зала. :)

Ну и чтоб модераторы не сомневались, что я тоже на что-то способен, закончу словесное решение realeugene с учетом формул, приведённых EUgeneUS
Тем более у меня получились такие же.
Итак, момент сил со стороны спицы относительно центра шарика вычисляется по формуле:
$M=I\frac{d\omega}{dt}=-\beta mr^2\frac{a^2+\beta r^2}{R^2+\beta r^2}2Rv_r\omega_0$
То есть если сначала спица крутилась по часовой стрелке, то на шарик со стороны спицы действует момент против часовой, а на спицу со стороны шарика опять по часовой. Значит компенсирующая сила со стороны оси на спицу против часовой относительно центра шарика и вычисляется по формуле:
$FR=M$

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1499060 писал(а):

Все мои доводы о том, что в таких задачах, где отсутствуют силы трения а другие силы считаются абсолютно упругими, соблюдается закон сохранения энергии. Ну и если внешние силы ещё и центральные, тем более приложенные на самой оси вращения, то и момент количества движения сохраняется, вдруг резко принял в штыки.

И этот человек как-нибудь аргументировал причину несохранения той же энергии в данном случае? Указав путь её диссипации?

[EUgeneUS]

fred1996
ИМХО, Вашему оппоненту имеет смысл сказать следующее:

1. То, что энергия и момент импульса сохраняются - это контринтуитивно. Действительно, как так: шарик же со спицей взаимодействует, а его энергия и момент импульса сохраняются! Это потому, что условия контринтуитивны - спица и ось невесомы.
2. Физическая система - это не заданная Б-гом сущность, а некая абстракция. Как хотим, так и проводим границы системы. И если в качестве системы взять шарик и спицу с осью, то сохранение энергии и момента импульса в такой системе - очевидны. А сохранение энергии и импульса шарика следуют уже из невесомости оси и спицы.
Надо быть более гибким и пользоваться допустимым произволом, чтобы выбирать "хорошие", "удобные" системы.
3. Предложить решить оппоненту задачу, исходя из его соображений. Он неизбежно придет к ступору в виде:

realeugene в сообщении #1499061 писал(а):

этот человек как-нибудь аргументировал причину несохранения той же энергии в данном случае? Указав путь её диссипации?

-- 05.01.2021, 16:23 --

UPD:
Контринтуитивность условий (а значит и выводов из них) можно объяснить ещё следующим образом:

1. Если положить $\beta = 0$, то вместо шарика у нас будет материальная точка. Которая со спицей взаимодействовать не будет вообще. И которая улетит по прямой с прицельным параметром $a$, то есть по касательной к первоначальному движению. Ответ легко проверяется на этот вполне "интуитивный" крайний случай.

2. Однако, в случае ненулевого момента инерции шарика (относительно ц.м.), контринтуитивно считать момент инерции спицы равным нулю. Потому что линейный размер спицы много больше линейного размера шарика.

Но условия таковы, каковы они есть, и решать надо то, что задано, а не то, что подсказывает интуиция.

[amon]

fred1996 в сообщении #1499060 писал(а):

начал резко сомневаться, почему это в этой задаче сохраняются энергия и угловой момент.

Аргументация зависит от степени компетентности оппонента. Я бы как-то так аргументировал. В этой задаче стержень это связь, выражающая угол поворота шарика через координаты центра масс. Если эту связь убрать, то получится свободный шарик, у которого куча интегралов движения. При наличии связи часть из них помрет (например, импульс или момент импульса в системе центра масс), а часть - нет. Сообразить что выживет легко, если вспомнить о связи законов сохранения с инвариантностями задачи относительно преобразований пространства-времени. Так энергия связана с инвариантностью относительно относительно сдвигов во времени. Ясно, что вставка стержня ее не нарушит. Полный момент импульса - инвариантность относительно поворотов вокруг начала координат, понятно, что эта инвариантность тоже сохраняется. А вот полный импульс это инвариантность относительно сдвигов начала координат, ее стержень нарушает.

[fred1996]

realeugene

(аргументировал)

Назвал меня калифорнийским чукчей

[realeugene]

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1499076 писал(а):

Назвал меня калифорнийским чукчей

Железобетонный аргумент. После такого повозить собеседника мордой по столу - это святое, понимаю.

[fred1996]

amon
Боюсь что если оппонент в курсе того, что вы написали насчёт инвариантности, он бы не впал в ступор от такой задачи. На самом деле ситуация достаточно распространённая. Народ что-то там понял в школе-институте про физику. А потом по прошествии десятков лет остались одни обрывки. Что-то хорошо помнит, а какие-то элементарные вещи забыл. Я вот тоже всю жизнь помнил про падежи. А тут недавно с большим трудом вспомнил, на какие вопросы они отвечают. Наверное преподавателю русского языка трудно понять, как такие вещи в принципе можно забыть. А физику реально вообще мало кто помнит после института. Особенно если это касается вращения твёрдого тела. :)
Я сам, когда вернулся в физику, с удивлением обнаружил следующую вещь.
Пусть у нас сила одновременно разгоняет тело и раскручивает его. Я и подумал, раз такие дела, она это не может делать одновременно со всей своей силой. Наверное есть какая-то пропорция. Часть силы разгоняет, часть раскручиваете. Разве не логично?

-- 05.01.2021, 06:28 --

fred1996 в сообщении #1499060 писал(а):

Итак, момент сил со стороны спицы относительно центра шарика вычисляется по формуле:
$M=I\frac{d\omega}{dt}=-\beta mr^2\frac{a^2+\beta r^2}{R^2+\beta r^2}2Rv_r\omega_0$

Квадрат забыл в знаменателе:

$M=I\frac{d\omega}{dt}=-\beta mr^2\frac{a^2+\beta r^2}{(R^2+\beta r^2)^2}2Rv_r\omega_0$

[EUgeneUS]

fred1996 в сообщении #1499078 писал(а):

Я сам, когда вернулся в физику, с удивлением обнаружил следующую вещь.
Пусть у нас сила одновременно разгоняет тело и раскручивает его. Я и подумал, раз такие дела, она это не может делать одновременно со всей своей силой. Наверное есть какая-то пропорция. Часть силы разгоняет, часть раскручиваете. Разве не логично?

Логично и даже в некотором смысле верно. А именно: если рассматривать не силу, а работу силы $A$

$A = \Delta T = \Delta (\frac{mv^2}{2}) + \Delta (\frac{J \omega^2}{2})$
Если тело движется без проскальзывания и имеется механическая связь между $v$ и $\omega$, то и получается, что работа силы распределяется в некой пропорции на приращение кинетической энергии вращательного движения и на приращение кинетической энергии поступательного движения.

Но попытка перенести представление о "пропорциях" на уравнения движения в виде $\vec{F} = m\vec{a}, \vec{M} = J \vec{\varepsilon}$ терпит моментальный крах, конечно.