Доказательство теоремы о разложении определителя по строке.

[Kevsh]

Никак не могу понять данное доказательство теоремы о разложении определителя по строке.

"Никакой член определителя $d$ не может войти в состав двух разных из числа произведений (1): все члены определителя, входящие в произведение ... и т. д.". А как вообще член определителя может войти в состав числа типа $a_{i1}A_{i1}$? Как я понял, член определителя это одна из перестановок, составленных из элементов определителя, находящихся в разных столбцах и строках. Приведу в пример определитель: $\begin{vmatrix} 1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 \\ 7& 8& 9 \end{vmatrix}$, давайте возьмем все члены определителя, где есть тройка: $(3 \cdot 4 \cdot 8)$ и $(3 \cdot 5 \cdot 7)$. Теперь возьмем произведение из (1), где есть тройка, это будет $a_{13}A_{13}$, где $A_{13}$ это $\begin{vmatrix} 4& 5 \\ 7& 8 \end{vmatrix}$ * (1)^{1 + 3}, то бишь $4 \cdot 8 - 5 \cdot 7$. Как посчитанные ранее слагаемые определителя могут входить в состав произведения $3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)$?Единственное, что у них есть общего - тройка, что очевидно еще из формул, по которым мы все это считали, однако далее в доказательстве пишется, что "общее число членов определителя $d$, входящих во все произведения (1), равно $n!$", то есть 6 раз в нашем случае, следовательно $(3 \cdot 4 \cdot 8)$ и $(3 \cdot 5 \cdot 7)$ вошли в состав $3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)$, что, вроде как, неправда, либо я что-то не до конца понимаю. Откуда берется тот самый $n!$ тоже не особо понятно, но это, видимо, из-за того, что я предыдущую часть доказательства не осилил. Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь.

[mihaild]

На редкость мутное рассуждение.
Вот вы посчитали $a_{13} A_{13} = 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)$ (кстати, зачем у вас единица в какой-то странной степени в вычислении $A_{13}$?). А когда мы считаем определитель исходной матрицы - в нём будут, в том числе, слагаемые $3 \cdot 5 \cdot 7$ и $3 \cdot 4 \cdot 8$ - как раз те, что получаются в $a_{13} A_{13}$ после раскрытия скобок.

[Kevsh]

mihaild в сообщении #1498970 писал(а):

На редкость мутное рассуждение.
Вот вы посчитали $a_{13} A_{13} = 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)$ (кстати, зачем у вас единица в какой-то странной степени в вычислении $A_{13}$?). А когда мы считаем определитель исходной матрицы - в нём будут, в том числе, слагаемые $3 \cdot 5 \cdot 7$ и $3 \cdot 4 \cdot 8$ - как раз те, что получаются в $a_{13} A_{13}$ после раскрытия скобок.

Понял, спасибо, не знаю, как этого не заметил. И там, конечно, -1 в странной степени, а не 1 было (просто степень четная, как-то на автомате минус убрал).