Синус плюс косинус

[Евгений Машеров]

Да, конечно, достаточно популярная конструкция механического вычислителя. Просто я такую штуку вживе видел, а прочие лишь на картинке.

[Vladimir Pliassov]

Евгений Машеров в сообщении #1498570 писал(а):

две стрелки, вращающиеся на оси и закреплённые под прямым углом. Проекция одной из них будет синус, второй косинус. А "сумма стрелок" будет диагональю квадрата, сторонами которого являются стрелки, имея длину в корень из двух раз больше и угол 45 градусов к ним.

"сумма стрелок" это сумма их проекций на некоторую (одну и ту же при любом их положении) прямую?

-- 02.01.2021, 12:23 --

Odysseus в сообщении #1498554 писал(а):

Но более важные вопросы, на самом деле, другие. Вы знаете как выводить все тригонометрические тождества? Точнее, можете каждое из них вывести самостоятельно (запоминать все детали вывода формулы или доказательства теоремы в математике обычно менее полезно (и не особенно реально), важнее знать основные идеи и всегда восстановить вывод это если нужно)? Понимаете их геометрический смысл? С чем они у вас ассоциируются? Проверяли их на конкретных аргументах/примерах? Можете посмотрев на какое-то тождество и, не помня его и не доказывая, сказать похоже оно на правду или нет (проведя "реалити чек" на проверку четности-нечетности, периодичности, какие значения принимает в характерных точках типа $0$, $\pi$ и $\frac{\pi}{2}$)? Знаете комплексные числа, формулу Эйлера и как ее можно при этом применять?

Всем этим по возможности занимаюсь (в частности, формулой Эйлера, может быть, Вы видели здесь topic144287.html).

[arseniiv]

Евгений Машеров в сообщении #1498570 писал(а):

Арктангенс от $\frac B A$

Но если $A = 0$, приходится доопределять. Жалко, что программистская функция arctan_xy не пустит корни в математику на такие случаи (выписывать её определение каждый раз явно неудобно, а неявное определение $t = \arctg_{xy}(x, y) \Leftrightarrow \exists r\ne0.\; x = r\cos t\wedge y = r\sin t$ не сразу говорит как это считать).

[kotenok gav]

arseniiv в сообщении #1498655 писал(а):

Жалко, что программистская функция arctan_xy не пустит корни в математику на такие случаи

https://en.wikipedia.org/wiki/atan2?

[arseniiv]

Она самая, хотя из-за того что в одних местах там аргументы в одном порядке, а в других в другом, я решил, что в математических применениях её стоило бы называть с явным поминанием того, где икс, а где игрек (или где косинус, а где синус: $\arctan_\mathrm{cs}$ как-нибудь).

-- Сб янв 02, 2021 19:40:04 --

Вообще это конечно то же самое что $\arg(x + iy)$, но не всегда уместно упоминать $i$ только ради выражения этого. Часто кстати нужен даже многозначный Аргумент/Арктангенс₂ (когда нам не важно, в каких пределах держать значения угла, нет смысла выбирать ту или иную конвенцию для однозначного аргумента/арктангенса₂); также можно иногда считать, что нас вообще интересует что-то, принадлежащее окружности $\mathbb R/2\pi\mathbb R$ и что тригонометрические функции на самом деле определены на ней, а уж каноническая инъекция $\mathbb R\to\mathbb R/a\mathbb R$ всегда даёт нам доопределять функции с окружности до периодических функций на прямой.

[Vladimir Pliassov]

Формула

$$\sin\alpha +\cos\alpha=\sqrt 2 \sin (\alpha+\frac \pi 4).$$

Евгений Машеров в сообщении #1498570 писал(а):

прояснить, откуда она взялась, можно, представив себе две стрелки, вращающиеся на оси и закреплённые под прямым углом. Проекция одной из них будет синус, второй косинус. А "сумма стрелок" будет диагональю квадрата, сторонами которого являются стрелки, имея длину в корень из двух раз больше и угол 45 градусов к ним.

Как я понимаю, "сумма стрелок" это сумма их проекций на некоторую прямую, и эта сумма по модулю будет равна диагонали квадрата, сторонами которого являются стрелки, когда эта диагональ будет параллельна этой прямой, и только тогда: пусть, например, $\alpha=\frac \pi 4$, тогда

$$\sin \frac \pi 4+\cos \frac \pi 4=\sqrt 2 \sin (\frac \pi 4+\frac \pi 4)=\sqrt 2 \sin \frac \pi 2=\sqrt 2\cdot 1=\sqrt2.$$

Или, при $\alpha=\pi+\frac \pi 4$:

$$\sin (\pi +\frac \pi 4)+\cos (\pi+\frac \pi 4)=\sqrt 2 \sin \Bigg [\Bigg(\pi+\frac \pi 4\Bigg)+\frac \pi 4\Bigg]=\sqrt 2 \sin (\pi+\frac \pi 2)=\sqrt 2\cdot (-1)=-\sqrt2 \rightarrow $$ $$\rightarrow \vert \sin (\pi +\frac \pi 4)+\cos (\pi+\frac \pi 4)\vert =\sqrt 2.$$

Это, конечно, уже некоторое геометрическое представление - и спасибо за него! - но хотелось бы найти общее геометрическое представление, то есть не только для случая параллельности диагонали и прямой. Я не смог.

[arseniiv]

Ну например возьмите комплексные числа. Пусть вращаются стрелка $r_1 e^{i (t + \varphi_1)} = r_1 e^{i \varphi_1} e^{i t} = z_1 e^{i t}$ и стрелка $z_2 e^{i t}$, в сумме $(z_1 + z_2) e^{i t} = |z_1 + z_2| e^{i t + i \arg(z_1 + z_2)}$.

[Vladimir Pliassov]

arseniiv в сообщении #1498683 писал(а):

Ну например возьмите комплексные числа. Пусть вращаются стрелка $r_1 e^{i (t + \varphi_1)} = r_1 e^{i \varphi_1} e^{i t} = z_1 e^{i t}$ и стрелка $z_2 e^{i t}$, в сумме $(z_1 + z_2) e^{i t} = |z_1 + z_2| e^{i t + i \arg(z_1 + z_2)}$.

Может быть, Вы имели в виду, что вращаются стрелки $z_1=r e^{i \varphi_1}$ и $z_2=r e^{i \varphi_2}$: когда мы умножаем их на $e^{i t}$, каждая из них поворачивается на угол $t$ (так же как и их сумма $z_1 + z_2$), так что они скреплены друг с другом в том отношении, что угол между ними при этом сохраняется?

(Модули $z_1, z_2$ равны, аргументы нет.)

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1498551 писал(а):

2. Можно было решить и через тождество для $ \cos2 \beta$. Это более длинный пусть, но ничего плохого поупражняться в этом нет.

1. Первый путь (как уже было представлено):

$$\frac {1-2\cos^2 \beta}{\cos \beta+\sin \beta}=\frac {\sin^2 \beta+\cos^2 \beta -2\cos^2 \beta}{\sin \beta +\cos \beta}=\frac {\sin^2 \beta-\cos^2 \beta}{\sin \beta +\cos \beta}=$$ $$=\frac {(\sin \beta+\cos \beta)(\sin \beta-\cos \beta)}{\sin \beta +\cos \beta}=\sin \beta-\cos \beta= \sqrt 2 \sin (\beta-\frac \pi 4).$$

Второй путь:

$$\frac {1-2\cos^2 \beta}{\cos \beta+\sin \beta}=-\frac {2\cos^2 \beta -1}{\cos \beta+\sin \beta}=-\frac {\cos2 \beta}{\sin \beta +\cos \beta}=-\frac {\cos^2 \beta-\sin^2\beta}{\sin \beta +\cos \beta}=$$ $$=-\frac {(\cos \beta+\sin\beta)(\cos \beta-\sin\beta)}{\sin \beta +\cos \beta}=-(\cos \beta-\sin\beta)=\sin\beta-\cos \beta= \sqrt 2 \sin (\beta-\frac \pi 4).$$

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Все верно, только пара небольших комментариев/советов.

1) Вы иногда излишне подробно расписываете очевидные шаги, например

$$\sqrt 2 \sin (\frac \pi 4+\frac \pi 4)=\sqrt 2 \sin \frac \pi 2=\sqrt 2\cdot 1=\sqrt2$$

Здесь после первого выражения можно было бы сразу написать итог $\sqrt2$. Или, хотя бы, опустить выражение $\sqrt 2\cdot 1$ Но если на данном этапе вам это помогает - ок. Просто старайтесь стремиться к тому, чтобы в будущем количество очевидных преобразований и шагов уменьшать. Они не заслуживают такого же внимания, как и все остальное. И это будет полезнее для вас же самих, поскольку вы будете, во-первых, лучше отделять главное от второстепенного и, во-вторых, привыкать автоматически выполнять что-то очевидное. Если при этом в итоговых преобразованиях ничего принципиального не будет пропущено, то уверяю вас все поймут.

2) Во втором пути приведенном вами выше, удобнее было бы быстрее избавиться от лишнего минуса в числителе, т.е. написать так

$$\frac {1-2\cos^2 \beta}{\cos \beta+\sin \beta}=-\frac {2\cos^2 \beta -1}{\cos \beta+\sin \beta}=-\frac {\cos2 \beta}{\sin \beta +\cos \beta}=-\frac {\cos^2 \beta-\sin^2\beta}{\sin \beta +\cos \beta}=$$

$$=\frac {\sin^2 \beta-\cos^2\beta}{\sin \beta +\cos \beta}=\frac {(\sin \beta+\cos\beta)(\sin \beta-\cos\beta)}{\sin \beta +\cos \beta}=\sin\beta-\cos \beta= \sqrt 2 \sin (\beta-\frac \pi 4).$$

Это тоже в каком-то смысле универсальное правило - быстрее избавляться от лишних знаков, если они ничем не помогают и потом все равно придется от них избавиться.

А если объединить советы 1 и 2, то во втором пути можно было бы также опустить несколько очевидных преобразований и записать его короче:

$$\frac {1-2\cos^2 \beta}{\cos \beta+\sin \beta}=-\frac {\cos2 \beta}{\sin \beta +\cos \beta}=\frac {\sin^2 \beta-\cos^2\beta}{\sin \beta +\cos \beta}=\sin\beta-\cos \beta= \sqrt 2 \sin (\beta-\frac \pi 4).$$

И аналогично в первом пути можно было бы пару шагов опустить. Опять же, если вам удобнее сейчас для самого себя расписывать все максимально подробно - значит так и делайте, ничего плохого в этом нет. Это все не в качестве критики. Просто стремитесь к тому, чтобы со временем очевидные шаги видеть автоматически. А в окончательной записи для кого-то тем более не обязательно их расписывать (если вы знаете, что другой человек сможет их легко восстановить).

[arseniiv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1498688 писал(а):

Может быть, Вы имели в виду, что вращаются стрелки $z_1=r e^{i \varphi_1}$ и $z_2=r e^{i \varphi_2}$: когда мы умножаем их на $e^{i t}$, каждая из них поворачивается на угол $t$ (так же как и их сумма $z_1 + z_2$), так что они скреплены друг с другом в том отношении, что угол между ними при этом сохраняется?

Одно и то же, я просто сразу описал всё движение стрелок целиком сразу как функцию времени, а вы описали их положение в момент времени и как получить их положение в другой момент времени.

Vladimir Pliassov в сообщении #1498688 писал(а):

(Модули $z_1, z_2$ равны, аргументы нет.)

Модули кстати не обязаны быть равными, всё получится и без этого ограничения.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1498813 писал(а):

пара небольших комментариев/советов.

Спасибо!

Не знаю, на правильном ли я пути в следующем примере (http://dgunh.ru/content/glavnay/oop-new ... adaniy.pdf стр.14, пример 6.1):

$$\sin 2 \alpha \cos 3 \alpha-\cos 2\alpha \sin 3 \alpha-\sin \alpha=$$ $$2\sin \alpha \cos \alpha(4 \cos^3 \alpha-3 \cos \alpha)-(\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha)(3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha)-\sin \alpha=$$

Дальше все перемножать? Я перемножил, но получил что-то, в чем не могу усмотреть, как упростить. Может быть, вместо $\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha$ взять одно из двух (пяти) других выражений $\cos 2 \alpha$?

-- 03.01.2021, 19:45 --

arseniiv в сообщении #1498819 писал(а):

Модули кстати не обязаны быть равными, всё получится и без этого ограничения.

Спасибо!

Модули я взял равными, чтобы была параллель со стрелками здесь (о формуле $\sin\alpha +\cos\alpha=\sqrt 2 \sin (\alpha+\frac \pi 4)$):

Евгений Машеров в сообщении #1498570 писал(а):

прояснить, откуда она взялась, можно, представив себе две стрелки, вращающиеся на оси и закреплённые под прямым углом. Проекция одной из них будет синус, второй косинус. А "сумма стрелок" будет диагональю квадрата, сторонами которого являются стрелки, имея длину в корень из двух раз больше и угол 45 градусов к ним.

[EUgeneUS]

Vladimir Pliassov в сообщении #1498829 писал(а):

Не знаю, на правильном ли я пути в следующем примере

Представьте так: $3 \alpha = 2\alpha + \alpha$
после чего воспользуйтесь формулами для синуса и косинуса суммы углов.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1498829 писал(а):

$$\sin 2 \alpha \cos 3 \alpha-\cos 2\alpha \sin 3 \alpha-\sin \alpha=$$

$$2\sin \alpha \cos \alpha(4 \cos^3 \alpha-3 \cos \alpha)-(\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha)(3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha)-\sin \alpha=$$

Господь с Вами! Тут же готовая формула.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Вы продолжаете решать задачи на преобразования, но, как мне кажется, еще явно недостаточно понимаете и чувствуете то, что вы решаете. Еще раз повторю свой совет:

Odysseus в сообщении #1498554 писал(а):

Вы знаете как выводить все тригонометрические тождества? Точнее, можете каждое из них вывести самостоятельно (запоминать все детали вывода формулы или доказательства теоремы в математике обычно менее полезно (и не особенно реально), важнее знать основные идеи и всегда восстановить вывод это если нужно)? Понимаете их геометрический смысл? С чем они у вас ассоциируются? Проверяли их на конкретных аргументах/примерах?
[...]
Это все не отменяет важности решения задач, но последнее намного полезнее когда знаешь/понимаешь все выводы, а значит лучше понимаешь "что при этом происходит", а не просто пользуешься справочником готовых преобразований. Задачи должны служить для закрепления теории, значит прежде всего нужно знать теорию.
[...]
Более того, те же задачи при лучшем понимании теории сможете решать быстрее, поскольку будете лучше понимать и представлять какие структуры/паттерны есть и какие лучше применять в каждом конкретном случае.

Без всего этого вы будете продолжать механически что-то комбинировать при решении задач, но это будет больше напоминать случайный процесс и не будет очень продуктивным. И это не только ваша проблема. Так происходит у многих, если они просто что-то механически зазубривают и потом пытаются подкрепить это количеством решенных задач.

На эту тему мне нравится рассказ Чехова "Дорогие уроки". Там, конечно, и другие причины, но есть похожие моменты.

А. П. Чехов в Дорогие уроки писал(а):

На другой день вечером, когда часы показывали без пяти минут семь, пришла Алиса Осиповна, розовая от холода; она раскрыла Margot, которого принесла с собой, и начала без всяких предисловий:
— Французская грамматика имеет 26 букв. Первая буква называется A, вторая B...
— Виноват, — перебил ее Воротов, улыбаясь. — Я должен предупредить вас, мадмуазель, что лично для меня вам придется несколько изменить ваш метод. Дело в том, что я хорошо знаю русский, латинский и греческий языки... изучал сравнительное языковедение, и, мне кажется, мы можем, минуя Margot, прямо приступить к чтению какого-нибудь автора.
И он объяснил француженке, как взрослые люди изучают языки.
— Один мой знакомый, — сказал он, — желал изучить новые языки, положил перед собой французское, немецкое и латинское евангелия, читал их параллельно, причем кропотливо разбирал каждое слово, и что ж? Он достиг своей цели меньше чем в один год. Сделаем и мы так. Возьмем какого-нибудь автора и будем читать.
[...]
Ходит она до сегодня. Переведены уже четыре книги, а Воротов не знает ничего, кроме слова «mémoires», и когда его спрашивают об его научной работке, то он машет рукой и, не ответив на вопрос, заводит речь о погоде.