соотношение кубического полинома со своей производной

[maxal]

Для полинома $p(x)$ степени $n$ с корнями $r_1,\dots,r_n$ определим:

$$V(p) := \sum_{1\leq i<j\leq n} (r_i-r_j)^4.$$

Докажите, что для кубических полиномов $p$ соотношение $\frac{V(p)}{V(p')}$ является константой, не зависящей от $p$.

[nnosipov]

Это прям новогодний подарок для моих студентов, тема "симметрические многочлены" как раз входит в программу экзамена.

[maxal]

nnosipov, более интересный вопрос - можно ли этот результат как-то обобщить? У меня не получилось. Выглядит как какой-то очень изолированный и особый случай.

[dmd]

Красиво!

(81/8)

mxl()=
{
 a= (-1)^random(2)*(random(100)+1);
 b= (-1)^random(2)*(random(100)+1);
 c= (-1)^random(2)*(random(100)+1);
 f= (-1)^random(2)*(random(100)+1);
 p= a*'x + b*'x^2  + c*'x^3 + f;
 print("p = "p);
 print("p' = "p');
 R= polroots(p)~;
 r1= R[1]; r2= R[2]; r3= R[3];
 Rd= polroots(p')~;
 rd1= Rd[1]; rd2= Rd[2];
 c= ((r1-r2)^4 + (r1-r3)^4 + (r2-r3)^4)/(rd1-rd2)^4;
 print("const = "c)
};

Для обобщения: быть может в знаменателе не сумма, или константа не дробь а сумма дробей в степени $n+1$.

[Vince Diesel]

maxal, не знаю, насколько это похоже на ваше, но я как-то вывел следующее утверждение. Пусть $z_1,\ldots,z_n$ — корни многочлена $P(z)$ степени $n$ со старшим коэффициентом единица, а $z'_1,\ldots,z'_{n-1}$ — корни $P'(z)$. Тогда

$$ \prod_{k=1}^nP'(z_k)=n^n\prod_{k=1}^{n-1}P(z'_k). $$

[dmd]

В принципе формулами Виета и оператором Результант можно показать, что константа равна 81/8. Но наверное имелось ввиду какое-то более человеческое доказательства, а это машинерия в CAS.

[kotenok gav]

Наверное, $V(p)$ можно выразить через коэффициенты $p$ с помощью Виета...

[nnosipov]

kotenok gav в сообщении #1498573 писал(а):

Наверное, $V(p)$ можно выразить через коэффициенты $p$ с помощью Виета...

Разумеется, можно, ибо $V(p)$ есть симметрический многочлен от переменных $r_1,\dots,r_n$. Это чисто техническое упражнение. А настоящий вопрос --- это почему вдруг для кубического многочлена указанное отношение есть абсолютная константа. Производит впечатление какого-то чуда.

maxal
а откуда сей факт?

-- Пт янв 01, 2021 18:34:57 --

Vince Diesel в сообщении #1498561 писал(а):

Пусть $z_1,\ldots,z_n$ — корни многочлена $P(z)$ степени $n$ со старшим коэффициентом единица, а $z'_1,\ldots,z'_{n-1}$ — корни $P'(z)$.

Кажется, здесь вместо производной можно взять любой другой многочлен.

[Vince Diesel]

nnosipov в сообщении #1498576 писал(а):

Кажется, здесь вместо производной можно взять любой другой многочлен.

Это я пропустил. В такой формулировке утверждение становится очевидным. А я его доказывал с помощью матанализа, уже не помню как.

[maxal]

nnosipov в сообщении #1498576 писал(а):

а откуда сей факт?

В обсуждении на MO вылезло. Кстати, если 4-ку в степенях заменить на 2-ку, то указанное соотношение зависит лишь от степени $p$. Но этот факт ещё проще и не особо впечатляет.

[iifat]

nnosipov в сообщении #1498576 писал(а):

Кажется, здесь вместо производной можно взять любой другой многочлен

Кажется, сообразил. Но только если хотя бы одна степень чётная. И старший член единица. Точнее, там произведение степеней старших членов вырисовывается.

[scwec]

maxal в сообщении #1498581 писал(а):

Кстати, если 4-ку в степенях заменить на 2-ку, то указанное соотношение зависит лишь от степени $p$

Для кубического полинома тождество $(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4=1/2((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)^2$ делает случаи с 4 и 2 в степенях эквивалентными.

[dmd]

Если $k,l$ порядки соответствующих производных исходного полинома, то $\dfrac{V_2(p^{(k)})}{V_2(p^{(l)})}$ вероятно тоже зависит только от $n,k,l$

(тест-код)

mxln(n,k,l)=
{
 m= 2;
 p= sum(i=0, n, (-1)^random(2)*(random(100)+1)*'x^i);
\\ print("\npolynomial:\n"p);
 s= p; for(i=1, k, s= s');
\\ print("\n("k")-derivative:\n"s);
 t= p; for(i=1, l, t= t');
\\ print("\n("l")-derivative:\n"t);
 S= polroots(s)~;
 T= polroots(t)~;
 Vs= sum(i=1, #S-1, sum(j=i+1, #S, (S[i]-S[j])^m));
 Vt= sum(i=1, #T-1, sum(j=i+1, #T, (T[i]-T[j])^m));
 c= Vs/Vt;
\\ print(Vs); print(Vt);
 print("\nc = "c);
};

Причем возможно этот коэффициент есть функция двух переменных $\dfrac{V_2(p^{(k)})}{V_2(p^{(l)})}=f(n-k,n-l)$, т.к. выборочные проверки демонстрируют, что при одинаковом сдвиге всех троих $n,k,l$ значение коэффициента не меняется.

[alisa-lebovski]

dmd в сообщении #1498639 писал(а):

при одинаковом сдвиге всех троих $n,k,l$ значение коэффициента не меняется.

Это как раз очевидно.

[maxal]

dmd в сообщении #1498639 писал(а):

Если $k,l$ порядки соответствующих производных исходного полинома, то $\dfrac{V_2(p^{(k)})}{V_2(p^{(l)})}$ вероятно тоже зависит только от $n,k,l$

Это очевидно. Например, при условии $l>k$ имеем:

$$\frac{V_2(p^{(k)})}{V_2(p^{(l)})} = \frac{V_2(p^{(k)})}{V_2(p^{(k+1)})}\cdot \frac{V_2(p^{(k+1)})}{V_2(p^{(k+2)})} \cdots \frac{V_2(p^{(l-1)})}{V_2(p^{(l)})},$$

где каждый множитель является функцией от $n,k,l$.

-- Sat Jan 02, 2021 09:03:39 --

scwec в сообщении #1498635 писал(а):

Для кубического полинома тождество $(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4=1/2((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)^2$ делает случаи с 4 и 2 в степенях эквивалентными.

Да, похоже, это объясняет обособленность кубического случая.