Пределы функций

[Fon Blut]

Всем привет!! никак не могу догадаться что можно сделать, с этими пределами, плиз помогите!!!
вычислить пределы функций
1)

$$\lim\limits_{x \to 0}{\left(\frac{1+x\cdot 3^x}{1+x\cdot 7^x}\right)}^\frac{1}{\tg^2x}$$

единственное что я здесь придумал это заменить
${\frac{1}{\tg^2x}}\sim{\frac{1}{x^2}}
и все....

2)

$$\lim\limits_{x \to 1}{\left(\frac{x+1}{2x}\right)}^\frac{\ln(x+2)}{\ln(2-x)}$$

в общем решаю ${(\frac{x+1}{2x})}$ вынесу за скобку 1/2 и поделю почленно на $x$
${\frac{1}{2}}*{(1+\frac{1}{x})}$ привожу ко 2-му замечательному пределу...
${\frac{1}{2}}*({(1+\frac{1}{x})^x})^{\frac{1}{x}}$ в итоге получается
$\lim\limits_{x \to 1}{(\frac{1}{2}*e^\frac{1}{x})}^\frac{\ln(x+2)}{\ln(2-x)}$
и что же делать с логарифмами??

[ewert]

Fon Blut писал(а):

1) ${\lim }\limits_{x \to 0}{(\frac{1+x*3^x}{1+x*7^x})}^\frac{1}{tg^2x}$
единственное что я здесь придумал это заменить
${\frac{1}{tg^2x}}\sim{\frac{1}{x^2}}
и все....

Стандартный приём: записать дробь в скобках как $(1+\varepsilon)$, где $\varepsilon$ -- это то, что остаётся после вычитании из дроби единички. Тогда в числителе этого эпсилона оказывается $x(3^x-7^x)$, которое ведёт себя в окрестности нуля примерно квадратично. Вот теперь -- действительно, практически всё.

Fon Blut писал(а):

2) ${\lim }\limits_{x \to 1}{(\frac{x+1}{2x})}^\frac{ln(x+2)}{ln(2-x)}$
в общем решаю ${(\frac{x+1}{2x})}$ вынесу за скобку 1/2 и поделю почленно на х
${\frac{1}{2}}*{(1+\frac{1}{x})}$ привожу ко 2-му замечательному пределу...
${\frac{1}{2}}*({(1+\frac{1}{x})^x})^{\frac{1}{x}}$

Ничего замечательного в этом пределе нет, т.к. икс стремится не к нулю (Вы забыли оставить двойку под степенью).

Практически всегда, когда икс стремится не к нулю, следует сдвигать переменную так, чтобы новая шла к нулю; в данном случае: $x=t+1$. Предел по $t$ будет уже вполне очевиден.

[Fon Blut]

1) получается...
${\lim }\limits_{x \to 0}{(1+\frac{x(3^x-7^x)}{1+x*7^x})}^\frac{1}{x^2}$
и что теперь?


2) ну через T ${\lim }\limits_{t \to 0}{(\frac{1}{2}*e^\frac{1}{t+1})}^\frac{ln(t+3)}{ln(1-t)}$
и что же делать с логарифмами то??

[ewert]

1) Заменить дробь в скобках на эквивалентный ему квадрат икса с соотв. константой (какой вариант оформления замены считать грамотным -- дело вкуса преподавателя)

2) В скобках какая-то чепуха написана. Логарифмы: нижний -- заменить на эквивалентную, верхний -- просто на константу.

[Fon Blut]

1) чтот я не совсем понимаю на какой эквивалент вы заменяете.... ну я решил так:
${\lim_}\limits_{x \to 0}{(1+\frac{x(3^x-7^x)}{1+x*7^x})}^\frac{1}{x^2}=${\lim }\limits_{x \to 0}({(1+\frac{x(3^x-7^x)}{1+x*7^x})}^\frac{1+x*7^x}{x(3^x-7^x)})^{\frac{x(3^x-7^x)}{1+x*7^x}*\frac{1}{x^2}}={\lim_}\limits_{x \to 0}{e^\frac{3^x-7^x}{x+x^2-7^x}}=e^{\ln\frac{3}{7}}=\frac{3}{7}$
${\frac{3^x-7^x}{x+x^2-7^x}}={\frac{7^x*((\frac{3}{7})^x-1)}{7^x*(\frac{x}{7^x}+\frac{x^2}{7^x})}}={\frac{x*ln\frac{3}{7}}{x*(\frac{1}{7^x}+\frac{x}{7^x})}, x\to 0 \Longrightarrow \ln\frac{3}{7}$

вот так!!!
2) хмм... почему чепуха??? где у меня ошибка то...
\lim_{x\to1} {\left(\frac{x+1}{2x}\right)}^\frac{\ln(x+2)}{\ln(2-x)}=\left|x=t+1; t\to0\right|= \lim_{t\to0} {\left(\frac{t+2}{2(t+1)}\right)}^\frac{\ln(t+3)}{\ln(1-t)}= \lim_{t\to0} {\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t+1}\right)\right)}^\frac{\ln(t+3)}{\ln(1-t)}= \lim_{t\to0} {\left(\frac{1}{2}{\left({\left(1+\frac{1}{t+1}\right)}^{t+1}\right)}^{\frac{1}{t+1}}\right)}^\frac{\ln(t+3)}{\ln(1-t)}= \lim_{t\to0} {\left(\frac{1}{2}*e^{\frac{1}{t+1}}\right)}^\frac{\ln(t+3)}{-t}= ?

Добавлено спустя 59 минут 32 секунды:

хех вот еще 3 предел, я его решил, просто так для проверки!!
3) $\lim_{x\to{\frac{\pi}{2}}}{\frac{2+cosx*sin{\frac{2}{2x-\pi}}}{3+2x*sinx}}=$$\begin{vmatrix} t=x-\frac{\pi}{2}\\ t\to0\\ x=t+\frac{\pi}{2} \end{vmatrix}$$ =\lim_{t\to0}{\frac{2+cos(t+\frac{\pi}{2})*sin{\frac{2}{2(t+\frac{\pi}{2})-\pi}}}{3+2(t+\frac{\pi}{2})*sin(t+\frac{\pi}{2})}}= \lim_{t\to0} {\frac{2-sint*sin{\frac{1}{t+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}}}{3+2(t+\frac{\pi}{2})*cos(t)}}= \lim_{t\to0} {\frac{1}{3+2(t+\frac{\pi}{2})*cos(t)}}= \lim_{t\to0} {\frac{1}{3+(2t+\pi)*(1-2*sin^2\frac{t}{2})}}= \lim_{t\to0} {\frac{1}{3+(2t+\pi)*(1-\frac{t^2}{2})}}= \frac{1}{3+\pi}$

[antbez]

В 3-ем примере нет неопределённости $\frac {0} {0}$. Знаменатель равен константе, а числитель содержит синус бесконечности. Так что ответ: предела не существует

[ewert]

antbez в сообщении #149896 писал(а):

, а числитель содержит синус бесконечности. Так что ответ: предела не существует

Всё же существует, ибо ограниченная неопределённость умножается на косинус, асимптотически равный нулю Остальное -- верно.

[antbez]

Да, хорош я. "О" и проглядел!

[ewert]

Fon Blut писал(а):

${\lim }\limits_{x \to 0}((\text{тыр-пыр})^{\frac{x(3^x-7^x)}{1+x*7^x}*\frac{1}{x^2}}={\lim_}\limits_{x \to 0}{e^\frac{3^x-7^x}{x+x^2-7^x}}=e^{\ln\frac{3}{7}}$

Всё, сдаюсь. Такого к-ва ошибок в одной строчке появиться просто не может ("ошибки" -- вполне могут). Да и дальше аналогично.

Вопрос считаю закрытым.

[Fon Blut]

ewert писал(а):

Fon Blut писал(а):

${\lim }\limits_{x \to 0}((\text{тыр-пыр})^{\frac{x(3^x-7^x)}{1+x*7^x}*\frac{1}{x^2}}={\lim_}\limits_{x \to 0}{e^\frac{3^x-7^x}{x+x^2-7^x}}=e^{\ln\frac{3}{7}}$

Всё, сдаюсь. Такого к-ва ошибок в одной строчке появиться просто не может ("ошибки" -- вполне могут). Да и дальше аналогично.

Вопрос считаю закрытым.

чего это закрыт??? мы еще ниче не решили... у меня тут опечатка была, но ответ не поменялся...
${\lim_}\limits_{x \to 0}{(1+\frac{x(3^x-7^x)}{1+x*7^x})}^\frac{1}{x^2}=${\lim }\limits_{x \to 0}({(1+\frac{x(3^x-7^x)}{1+x*7^x})}^\frac{1+x*7^x}{x(3^x-7^x)})^{\frac{x(3^x-7^x)}{1+x*7^x}*\frac{1}{x^2}}={\lim_}\limits_{x \to 0}{e^\frac{3^x-7^x}{x+x^2*7^x}}=e^{\ln\frac{3}{7}}=\frac{3}{7}$
${\frac{3^x*7^x}{x+x^2-7^x}}={\frac{7^x*((\frac{3}{7})^x-1)}{7^x*(\frac{x}{7^x}+{x^2})}}={\frac{x*ln\frac{3}{7}}{x*(\frac{1}{7^x}+x)}, x\to 0 \Longrightarrow \ln\frac{3}{7}$

это же верно решено????
3-й тоже вроде верно я решил... или нет???

а второй??? что же там??

[gris]

Во втором ответ $\sqrt {3}$. советую решать через эквивалентности бесконечно малых и второй ЗП.
$ln(2-x) \sim 1-x$

упс. это уже советовали. А что же тогда там не получается?

[GAA]

Fon Blut писал(а):

${\frac{3^x*7^x}{x+x^2-7^x}}={\frac{7^x*((\frac{3}{7})^x-1)}{7^x*(\frac{x}{7^x}+{x^2})}}={\frac{x*ln\frac{3}{7}}{x*(\frac{1}{7^x}+x)}, x\to 0 \Longrightarrow \ln\frac{3}{7}$

Проверьте, нет ли опечаток. Действия мне кажутся странными. Вообще, выполняемые преобразования желательно обосновывать. Тогда Вам смогут указать, в чем Вы ошибаетесь. Примечание: ответ у меня такой же.

Fon Blut писал(а):

\lim_{t\to0} {\left(\frac{1}{2}{\left({\left(1+\frac{1}{t+1}\right)}^{t+1}\right)}^{\frac{1}{t+1}}\right)}^\frac{\ln(t+3)}{\ln(1-t)}= \lim_{t\to0} {\left(\frac{1}{2}*e^{\frac{1}{t+1}}\right)}^\frac{\ln(t+3)}{-t}

Это неправильно.
Сделайте, то что Вам советовал ewert: представьте основание в виде $1 + \epsilon$, где $\epsilon$ стремится к нулю (является бесконечно малой функцией) при сремлении $t$ к 0 .

[Fon Blut]

GAA писал(а):

Сделайте, то что Вам советовал ewert: представьте основание в виде $1 + \epsilon$, где $\epsilon$ стремится к нулю (является бесконечно малой функцией) при сремлении $t$ к 0 .

незнаю че за метод, и не понимаюкак решать так....

Лана всем спасибо, спрошу у препода!