Помогите разобраться : МВМ

[Xaositect]

pc20b в сообщении #149765 писал(а):

Скажите, пожалуйста, он для "алефов" годится? Как вы "пересчетом" будете "считать" мощность множества мощности континуума и выше?

Хорошо, я приведу доказательство, но еще раз говорю. что лучше бы почитать учебник, где об этом говорится, вопросов станет меньше.

очевидно, что $|A|\leq |2^A|$, так как мощность А равна мощности множества всех одноэлементных подмножеств А, а оно в свою очередь является подмножеством $2^A$. Докажем, что мощности A и $2^A$ не могут совпадать, то есть что не существует взаимно однозначного соответствия $f\colon A\leftrightarrow 2^A$.
Пусть такое соответствие f существует. Рассмотрим тогда Z - множество всех элементов A, не принадлежащих соответствующему подмножеству: $Z = \lbrace x\in A|x\notin f(x)\rbrace$.
Докажем, что множеству Z не соответствует ни один элемент A. Рассмотрим произвольный элемент $z\in A$. Если $z\in f(z)$, то $z\notin Z$ и множества f(z) и Z различаются. В противном случае $z\notin f(z)\ \Rightarrow\ z\in Z$ и множества f(z) и Z снова различны.
Получили противоречие: с одной стороны, f - взаимно-однозначное соответствие, с другой стороны, ни один элемент не соответствует множеству Z.

[AD]

pc20b писал(а):

Кардинал - это $exp (|U|)$.

Чё это за обозначения такие?

Добавлено спустя 55 секунд:

Xaositect в сообщении #149772 писал(а):

Хорошо, я приведу доказательство, но еще раз говорю.

Не успели 2:1 в вашу пользу все равно.

[Xaositect]

pc20b в сообщении #149770 писал(а):

Видите ли какое дело, тут дело даже не в том, за какое число шагов завершается такая процедура - пусть она не завершится никогда - а хотя бы в том, чтобы указать хоть одну процедуру определения мощности.

Что Вы понимаете под словом "определение мощности"? Классическая теория множеств неконструктивна, и на этот счет могут быть разногласия.

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

AD в сообщении #149773 писал(а):

Не успели Smile 2:1 в вашу пользу все равно.

Ух ты, тут целую страницу написали, пока я копался.

[pc20b]

AD в сообщении #149771 писал(а):

А зачем? Мощность корректно определена, хотя это не значит, что мы умеем ее считать.

Да, история мидян темна и непонятна, тем не менее, историки делят её на три периода ... Пусть Вы её не сможете "посчитать", но процедуру указать надо всё же. Потому что в противном случае распространить результат для счетных множеств :

$|2^U|>|U|$

на произвольные, наверно, не удастся. Как раз именно к такой ситуации сводится задача с МВМ : его мощность - ультракардинал, включающий в себя все возможные манипуляции с ним. А противоречия, обнаруживаемые в каких-то доказательствах, носят, возможно, формально - логический характер.

Наверно, можно сказать, что хоть теория множеств и формальная математическая модель, но, тем не менее, она отражает объективную реальность. У меня, к примеру, МВМ интуитивно ощущается соответствующим миру в целом, поэтому и попросил Вас указать ошибки.

[AD]

pc20b писал(а):

AD в сообщении #149771 писал(а):

А зачем? Мощность корректно определена, хотя это не значит, что мы умеем ее считать.

Пусть Вы её не сможете "посчитать", но процедуру указать надо всё же. Потому что в противном случае распространить результат для счетных множеств :

$|2^U|>|U|$

на произвольные, наверно, не удастся.

Только что распространили в двух экземплярах.

Добавлено спустя 1 минуту 30 секунд:

pc20b в сообщении #149808 писал(а):

У меня, к примеру, МВМ интуитивно ощущается соответствующим миру в целом, поэтому и попросил Вас указать ошибки.

Значит, любите и уважайте аксиоматику NBG, в которой понятие "класс всех множеств" вполне спокойно существует.

[pc20b]

AD в сообщении #149773 писал(а):

Кардинал - это $exp (|U|)$.
Чё это за обозначения такие?

$$exp (|U|) = 2^{|U|}$$

.

Добавлено спустя 4 минуты 55 секунд:

Xaositect в сообщении #149774 писал(а):

Что Вы понимаете под словом "определение мощности"? Классическая теория множеств неконструктивна, и на этот счет могут быть разногласия.

Она к тому же и интуитивна. У меня перед глазами замечательный пример : мир в целом может представлять собой всюду несвязное рваное множество мощности не меньше континуума меры нуль. Я не могу указать процедуру подсчета (определения) его мощности. Т.е. действия, которые можно упорядочить с помощью множества алеф нуль.

[AD]

pc20b писал(а):

AD в сообщении #149773 писал(а):

Кардинал - это $exp (|U|)$.
Чё это за обозначения такие?

$$exp (|U|) = 2^{|U|}$$

.

Тогда ваше утверждение неверно. Кардинал - это не $exp(|U|)$.

[pc20b]

AD в сообщении #149817 писал(а):

Кардинал - это не

Не скажете, почему?

[AD]

pc20b, слушайте, ну это уже ваши проблемы, что вам позарез процедура нужна для каких-то-там теорий.

Добавлено спустя 20 секунд:

pc20b в сообщении #149819 писал(а):

Не скажете, почему?

По определению.

[Xaositect]

pc20b в сообщении #149808 писал(а):

У меня, к примеру, МВМ интуитивно ощущается соответствующим миру в целом, поэтому и попросил Вас указать ошибки.

Никто не запрещает рассматривать совокупность всех множеств - в теории NBG это объект теории - класс всех множеств, в теории ZFC каждой совокупности множеств соответствует логический предикат. Можно также рассматривать теорию моделей ZFC, с этим подходом связаны понятия von Neumann universe, constructible universe, поиск новых содержательных аксиом.
Но во всех этих направлениях совокупность всех множеств не рассматривается как множество, потому что его нельзя так рассматривать.

Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:

pc20b в сообщении #149812 писал(а):

Она к тому же и интуитивна.

Не настолько интуитивна, как Вы думаете. Скажем, существуют свойства кардиналов, для выполнения которых кардиналы должны быть настолько большими, что как их существование, так и их несуществование не противоречит теории ZFC, которая представляет собой как раз некоторое интуитивное понятие математика о множествах.
Есть некоторые философские рассуждения о том, существуют ли большие кардиналы, но реальная математика с ними не работает. Нет интуиции насчет больших кардиналов.

Можно еще сказать про континуум-гипотезу, она также независима от ZFC, но большинство математиков считает, что она верна. Тут уже есть некоторая интуиция, основанная на иерархии алефов, эта иерархия кажется естественной.

Все вышенаписанное - мое ИМХО, составленное на основе книг по теории множеств и популярных статей о философии математики.

[pc20b]

Xaositect в сообщении #149823 писал(а):

Но во всех этих направлениях совокупность всех множеств не рассматривается как множество, потому что его нельзя так рассматривать.

Тем не менее, если вернуться к К(Н)ТМ, единственное множество, которое попадает под аксиоматическое ощущение множества, заданного лишь своими элементами, это МВМ. Все противоречия выплывают лишь дальше. И наоборот, если взять любое конкретное частное множество, скажем, множество целых чисел, оно, помимо указания его элементов (и, упаси бог, ничего другого), требует ещё соблюдения дополнительного условия - определения и выбора, в данном случае, целых чисел. Т.е. таким множествам всегда присуща дополнительная структура.

[AD]

pc20b в сообщении #149831 писал(а):

единственное множество, которое попадает под аксиоматическое ощущение множества, заданного лишь своими элементами, это МВМ.

Это не так. Например, "множество всех кардиналов", множество всех одноэлементных множеств", итп - это все такие же парадоксальные штуки. Во всех в них есть много общего, согласен. Но вы все равно тупо-формально не правы.

[pc20b]

AD в сообщении #149834 писал(а):

Но вы все равно тупо-формально не правы.

Спасибо.

[Xaositect]

pc20b в сообщении #149831 писал(а):

И наоборот, если взять любое конкретное частное множество, скажем, множество целых чисел, оно, помимо указания его элементов (и, упаси бог, ничего другого), требует ещё соблюдения дополнительного условия - определения и выбора, в данном случае, целых чисел. Т.е. таким множествам всегда присуща дополнительная структура.

Для меня множество целых чисел более "конкретно", чем "множество" всех множеств.
Множество целых чисел - это дополненное множество натуральных чисел, а натуральные числа - это суммы единиц.
Понимание же структуры класса всех множеств не так очевидно. Класс всех множеств очень сложен, он содержит и простые, и сложные множества, его объекты неоднородны. Для меня понимание стало достаточно полным только когда я узнал о понятии von Neumann universe. Это трансфинитная конструкция, в которой все множества строятся постепенно от простых к сложным. И то на верхних этажах там находятся множества, существование которых независимо от ZFC.

[pc20b]

AD в сообщении #149834 писал(а):

Например, "множество всех кардиналов", множество всех одноэлементных множеств", итп - это все такие же парадоксальные штуки

Речь была о противоположном свойстве МВМ : все его элементы не имеют никаких дополнительных признаков, кроме как быть элементами, чтобы принадлежать данному множеству. Значит, оно максимально простое в аксиоматике К(Н)ТМ. Все остальные множества этим свойством не обладают : чтобы обозначить их элементы, их приходится определять, наделяя дополнительными свойствами : "множество всех кардиналов" и т.п.

Xaositect в сообщении #149837 писал(а):

Для меня понимание стало достаточно полным только когда я узнал о понятии von Neumann universe. Это трансфинитная конструкция, в которой все множества строятся постепенно от простых к сложным. И то на верхних этажах там находятся множества, существование которых независимо от ZFC.

Т.е. Вы хотите сказать, что хоть Вы и математики, но ничего человеческое Вам не чуждо? И Вы понимаете, что все трансфинитные конструкции так или иначе направлены на объяснение происхождения и сути жизни? По-старому - "актуальной бесконечности", по-новому - самоорганизации из хаоса? (модель фон Неймана)...

Разрешите теперь мне Вас разочаровать : ни результаты Пригожина, ни результаты фон Неймана не дают пока оснований полагать, что гипотеза самозарождения жизни получила, наконец, математическую основу - в неравновесной термодинамике, в теории самосовершенствующихся автоматов ...

Если говорить кратко, то все динамическое остается динамическим (упорядоченным), всё случайное - случайным. Чтобы объяснить жизнь, требуется введение в математические модели "третьего тела" - разума. Так можно сформулировать лаконично первые предварительные результаты в этой области.