ФАН,сходимость функционалов

[Виктория123]

Исследовать на сходимость(слаюуб,по норме) функционалы:
1.f_n(x)= \int_{0}^{1} x(t^n)dt в $C[0,1]$

2.f_n(x)=$ \sqrt n$ \int_{0}^{1}t^n x(t)dt в $C[0,1]$ и $L[0,1]$

С чего нужно вообще начать?

[Бодигрим]

С определений соответствующих видов сходимостей и стандартных метрик в приведенных пространствах. Помните?

[Виктория123]

Метрика в $C[0,1]$ это $max_{t \in [0,1]} \left| (f(t)-g(t)) \right|$

Последовательность $A_nx$ сходится слабо к $Ax$,если $ \left| A_nx-Ax\right|\to 0$ $n \to \infty$
а сходимость по норме это как я понимаю
$||A_nx-Ax||\to 0 при $n \to \infty$

[Бодигрим]

Не помните.

[Виктория123]

может подскажите тогда?

[AD]

Виктория123 писал(а):

Последовательность $A_nx$ сходится слабо к $Ax$,если $ \left| A_nx-Ax\right|\to 0$ $n \to \infty$
а сходимость по норме это как я понимаю
$||A_nx-Ax||\to 0 при $n \to \infty$

Всё не правильно. Правильно так:

Виктория123, к сожалению, не писал(а):

Последовательность $A_n$ сходится слабо* к $A$,если $ \left| A_nx-Ax\right|\to 0$ $n \to \infty$ для всех $x$.
а сходимость по норме это
$\|A_n-A\|\to0$ при $n\to\infty$

Здесь "*" - это не сноска, а самая настоящая звездочка. То есть понятие такое - "слабая* сходимость". А "слабая сходимость" - это вам надо проверить сходимость $BA_n$ к $BA$ при $n\to\infty$ для всех функционалов $B$ из второго сопряженного (то есть для всех функционалов на функционалах).

[Виктория123]

Нет,нам про слабую звездочка сходимость не рассказывали...

[AD]

Виктория123 в сообщении #149826 писал(а):

Нет,нам про слабую звездочка сходимость не рассказывали...

Наверное, просто обманули, назвав слабой ту, которая на самом деле слабая*. Но гарантировать, что обманули, не могу. Что требуется в задаче - только вы можете сказать.

[Виктория123]

Нам сказали что слабая сходимость-это поточечная..

[Really]

Виктория123 в сообщении #149839 писал(а):

Нам сказали что слабая сходимость-это поточечная..

Обычно это называют сильной сходимостью.

[Виктория123]

Really писал(а):

Виктория123 в сообщении #149839 писал(а):

Нам сказали что слабая сходимость-это поточечная..

Обычно это называют сильной сходимостью.

Мне кажется,вы не правы..Я в учебнике посмотрела.

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

А ну так как решать задачу?Хотя бы один пункт,дальше я сама разберусь.

[Бодигрим]

Виктория123 в сообщении #149897 писал(а):

А ну так как решать задачу?Хотя бы один пункт,дальше я сама разберусь.

В первой задаче надо использовать два факта:
1. $x(\cdot)$ - непрерывная функция на отрезке, а значит она равномерно непрерывна на нем.
2. $t^n$ на отрезке $[0,1]$ имеет своим пределом при $n\to\infty$ функцию, равную 0 на [0,1) и 1 при $t=1$.

Комбинируя эти два факта, видим, что для каждой фиксированной функции $x$ предел $f_n(x) $ при $n\to\infty$ равен $x(0)$. Это, конечно, надо аккуратно доказать на языке $\epsilon-\delta$. Это что касается поточечной (слабой?) сходимости.

[Brukvalub]

Виктория123 в сообщении #149740 писал(а):

Исследовать на сходимость(слаюуб,по норме) функционалы:
1.f_n(x)= \int_{0}^{1} x(t^n)dt в $C[0,1]$

Давайте рассуждать. На любом отрезке

\[ [0\;;\;1 - \delta ]\;,\;0 < \delta < 1 \]

последовательность аргументов t^nравномерно сходится к нулю. Поэтому, грубо говоря, "почти на всем отрезке" функция под знаком интеграла с ростом n начинает принимать одно и то же значение - х(0). Значит, и интеграл становится примерно равен х(0). Если теперь Вы попробуете перевести мои интуитивно-наивные рассуждения на строгий язык математики, то Вы легко ответите на вопрос о слабой сходимости в первой задаче.

[Виктория123]

да,спасибо за подсказки,попробую

[AD]

Виктория123 писал(а):

Really писал(а):

Виктория123 в сообщении #149839 писал(а):

Нам сказали что слабая сходимость-это поточечная..

Обычно это называют сильной сходимостью.

Мне кажется,вы не правы..Я в учебнике посмотрела.

Виктория123, +1. Поточечная, значит. Ну то есть слабая* по-нашему.