Запутанные частицы

[irygaev]

Добрый день!

Можно ли запутать две частицы в заранее определённом состоянии? Например, запутать два электрона так, чтобы спин одного был строго вверх, а другого соответственно - строго вниз (по заранее заданному направлению).

Или же состояние запутанности обязательно подразумевает неопределённость состояния частиц?

Спасибо.

[madschumacher]

irygaev в сообщении #1498059 писал(а):

Можно ли запутать две частицы в заранее определённом состоянии? Например, запутать два электрона так, чтобы спин одного был строго вверх, а другого соответственно - строго вниз (по заранее заданному направлению).

Создать такое состояние много ума не надо: делаете два независимых электрона с нужными спинами, и вуаля.
Только это ($|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle$) состояние, в котором у первого электрона состояние строго вверх ($|\uparrow_1\rangle$), а у второго -- строго вниз ($|\downarrow_2\rangle$), по определению не является запутанным, т.к. факторизуется на состояния отдельных электронов.

irygaev в сообщении #1498059 писал(а):

Или же состояние запутанности обязательно подразумевает неопределённость состояния частиц?

Грубо говоря, да. Вам нужно нефакторизуемое состояние в выбранном Вами базисе. Или если говорить в терминах матрицы плотности, нужно состояние, которое имеет ненулевые недиагональные элементы в выбранном базисе. Собственно, термин "запутанность" -- весьма искусственная конструкция, т.к. её наличие зависит от используемого базиса.

[irygaev]

Спасибо за ответ.

madschumacher в сообщении #1498061 писал(а):

Собственно, термин "запутанность" -- весьма искусственная конструкция, т.к. её наличие зависит от используемого базиса.

Но с ней вроде как связан физический феномен "дальнодействия". Когда я измеряю одну из запутанных частиц, волновая функция схлопывается для обеих, а в незапутанном состоянии - только для одной. Так ведь? Весьма странно, что это зависит от базиса, который есть произвол исследователя.

[madschumacher]

irygaev в сообщении #1498073 писал(а):

Но с ней вроде как связан физический феномен "дальнодействия".

Да, связан. В сам термин, конечно, обычно вкладывают больше, чем он того заслуживает, имхо.

irygaev в сообщении #1498073 писал(а):

Когда я измеряю одну из запутанных частиц, волновая функция схлопывается для обеих, а в незапутанном состоянии - только для одной.

Не совсем так: волновая функция схлопывается одинаково в обоих случаях. Просто в случае запутанных состояний схлопывание в правильно выбранном базисе приводит к ненулевым корреляциям между измерениями разных частиц.

irygaev в сообщении #1498073 писал(а):

Весьма странно, что это зависит от базиса, который есть произвол исследователя.

Нет, в этом ничего необычного нет. В экспериментальном смысле "запутанность" -- очень удобное понятие, т.к. наши измерения всегда имеют некоторый известный базис (например, направление поляризаторов). Например, если у нас частицы поляризованы и запутаны в одном направлении (вертикальном), а мы измеряем их в неправильном базисе (скажем, горизонтальном), то мы и не увидим никакой запутанности.

[warlock66613]

madschumacher в сообщении #1498061 писал(а):

"запутанность" -- весьма искусственная конструкция, т.к. её наличие зависит от используемого базиса

Не зависит. Если состояние факторизуется, то как ты базисы двух подсистем ни крути — оно так и будет факторизовываться. Поэтому если не факторизуется — значит не факторизуется. Если, конечно, начать крутить общий базис как угодно, смешивая базисы подсиситем, то будет чёрти что, но так делать нельзя, потому что раз уж вы ввели в рассмотрение подсистемы, факторизовали гильбертово пространство, то и базисы надо использовать соотвествующие.

[madschumacher]

warlock66613 в сообщении #1498076 писал(а):

Если состояние факторизуется, то как ты базисы двух подсистем ни крути — оно так и будет факторизовываться.

Подсистем -- да, не будет. Системы целиком -- нет, мы всегда можем диагонализовать матрицу плотности. Ну будут у нас двух-/трех-/.../многочастичные состояния, ну и что.

warlock66613 в сообщении #1498076 писал(а):

но так делать нельзя, потому что раз уж вы ввели в рассмотрение подсистемы, факторизовали гильбертово пространство, то и базисы надо использовать соотвествующие.

А что это мне запрещает? В эксперименте понятно -- вот у меня два детектора, они и дают базис, а в теории то какая разница?

[warlock66613]

В общем, запутанность вообще, разделение состояний на "запутанные" и "незапутанные" — оно не только от базиса зависит, но и вообще малоосмыслено. А запутанность двух конкретных подсистем между собой (например, двух электронов в двухэлектронной системе) — это свойство состояния, не представления состояния в каком-то базисе.

[irygaev]

Итак, если я правильно понял:

1. Если волновая функция системы двух частиц не факторизуется (не может быть представлена в виде произведения волновых функций отдельных частиц), то частицы будут "по-настоящему" запутанными, и их измерения по любому (но общему для двух частиц) базису всегда дают коррелированные результаты.

2. Если же волновая функция системы факторизуется на волновые функции отдельных частиц, то частицы фактически не запутаны, и их измерения по произвольному базису будут давать в общем случае некоррелированные результаты, за исключением возможно одного конкретного базиса, по которому обе частицы имеют единственное состояние с вероятностью 1.

Тут математически всё ясно, но философски немного странно. Ведь в обоих случаях можно говорить об общей волновой функции системы, но в одном случае она схлопывается целиком, а во-втором - только частично. Получается, что природа как бы пытается минимизировать схлопывание по максимуму. Это подходящая метафора, нет?

[warlock66613]

irygaev в сообщении #1498082 писал(а):

природа как бы пытается минимизировать схлопывание по максимуму

Да ну при чём здесь природа? Как мы волновую функцию померяем — так она и схлопнется. Просто когда фолновая функция факторизуется, то появляется возможность произвести измерение так, чтобы все множители, кроме одного, не изменились.

[madschumacher]

irygaev в сообщении #1498082 писал(а):

Если волновая функция системы двух частиц не факторизуется (не может быть представлена в виде произведения волновых функций отдельных частиц), то частицы будут "по-настоящему" запутанными, и их измерения по любому (но общему для двух частиц) базису всегда дают коррелированные результаты.

Нет, это не так, и пример я уже выше давал (в сообщении #1498075). Ещё раз его опишу более подробно и в более простом случае, с которого и началась тема: вот Вы создали коррелированное, но не запутанное состояние двух электронов с заданным спиновым состоянием пары, например $|\psi\rangle = |\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle$. В результате измерения Ваш коррелятор для оси $\updownarrow$ имеет вид:

(вспомогательные соотношения)

$\hat{s}^{\updownarrow}|\uparrow\rangle = +1/2|\uparrow\rangle$, $\hat{s}^{\updownarrow}|\downarrow\rangle = -1/2|\downarrow\rangle$, $\langle \uparrow | \uparrow \ranlge = \langle \downarrow| \downarrow \rangle =1$ и $\langle \uparrow | \downarrow \rangle =0$

$ \langle \psi | \hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_2^{\updownarrow} | \psi \rangle = -\frac{1}{4} $
(т.е. если на одном приборе намерили спин вверх, на другом измерение даст спин вниз).
А теперь берём, и измеряем спины этих электронов в перпендикулярном направлении ($\leftrightarrow$). При разложении старых одночастичных состояний по собственным векторам в направлении измерения мы получим $|\uparrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\leftarrow\rangle + |\rightarrow \rangle)$, а $|\downarrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\leftarrow\rangle - |\rightarrow \rangle)$ (или что-то типа того).

(вспомогательные соотношения #2)

Они всё те же $\hat{s}^{\leftrightarrow}|\leftarrow\rangle = +1/2|\leftarrow\rangle$, $\hat{s}^{\leftrightarrow}|\rightarrow\rangle = -1/2|\rightarrow\rangle$, $\langle \leftarrow | \leftarrow \rangle = \langle \rightarrow| \rightarrow \rangle =1$ и $\langle \leftarrow | \rightarrow \rangle =0$

$| \psi \rangle = \frac{1}{2} (|\leftarrow_1\rangle|\leftarrow_2\rangle + |\rightarrow_1 \rangle |\leftarrow_2\rangle - |\leftarrow_1\rangle |\rightarrow_2\rangle - |\rightarrow_1 \rangle |\rightarrow_2\rangle)$
и следовательно коррелятор в другом направлении даст
$ \langle \psi | \hat{s}_1^{\leftrightarrow} \hat{s}_2^{\leftrightarrow} | \psi \rangle = \frac{1}{4} \left( +\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} +\frac{1}{4} \right) = 0 $
(т.е. если на одном приборе получился спин влево, то на втором может быть, как спин вправо, так и влево, причём с одинаковой вероятностью, а значит корреляции между измерениями спинов двух частиц нет).

Для запутанного состояния, например $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$ будет всё то же самое, проверьте это сами, чтобы убедиться.

irygaev в сообщении #1498082 писал(а):

Если же волновая функция системы факторизуется на волновые функции отдельных частиц, то частицы фактически не запутаны, и их измерения по произвольному базису будут давать в общем случае некоррелированные результаты, за исключением возможно одного конкретного базиса, по которому обе частицы имеют единственное состояние с вероятностью 1.

Опять не верно, см. предыдущий пункт: у нас было изначально не запутанное состояние, но результаты измерений в нужном базисе были скореллированные.

irygaev в сообщении #1498082 писал(а):

Ведь в обоих случаях можно говорить об общей волновой функции системы, но в одном случае она схлопывается целиком, а во-втором - только частично.

Это опять же неверно: в обоих случаях схлопывание коллапс происходит одинаково. Изначально у Вас всегда имеется двухчастичная волновая функция $|\psi\rangle$. Когда Вы измеряете первую частицу и получаете в результате измерения частицу в одночастичном состоянии $|\psi_1\rangle$, у Вас всё ещё остаётся одночастичная волновая функция второй частицы $|\psi_2 \rangle = \langle \psi_1 | \psi \rangle$, проекция двухчастичного состояния для заданного одночастичного. И это работает в обе стороны.

irygaev в сообщении #1498082 писал(а):

Это подходящая метафора, нет?

Вообще не в кассу.

[mihaild]

madschumacher, а я правильно понимаю, что физики тут используют своё понятие "скоррелированности", отличное от математического? (по терверовскому определению константная функция ни с чем не коррелирует)

[irygaev]

mihaild в сообщении #1498113 писал(а):

madschumacher, а я правильно понимаю, что физики тут используют своё понятие "скоррелированности", отличное от математического? (по терверовскому определению константная функция ни с чем не коррелирует)

Нет. Обычное математическое. Имеется в виду корреляция результатов многократных измерений одинаково запутанных частиц.

[madschumacher]

mihaild в сообщении #1498113 писал(а):

а я правильно понимаю, что физики тут используют своё понятие "скоррелированности", отличное от математического? (по терверовскому определению константная функция ни с чем не коррелирует)

и да, и нет. я встречал, что в качестве меры корреляции используют именно $\langle x y \rangle$, без поправки на $\langle x \rangle \langle y \rangle$. Обычно разницы нет, поскольку в запутанных состояниях подразумевают $\langle x \rangle = \langle y \rangle = 0$, но, как в примере выше, разница возникнет, т.к. если в первом случае сделать поправку на среднее значение, то корреляции не будет никакой.
А так достаточно часто используют выражение
$\frac{N_{++} - N_{-+} - N_{--} + N_{--}}{N_{++} + N_{-+} + N_{--} + N_{--}}$

[irygaev]

madschumacher в сообщении #1498110 писал(а):

Для запутанного состояния, например $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$ будет всё то же самое, проверьте это сами, чтобы убедиться.

Вроде бы получается $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\rightarrow_1\rangle|\leftarrow_2\rangle - |\leftarrow_1\rangle|\rightarrow_2\rangle)$, чего и следовало ожидать. У вас по-другому?

madschumacher в сообщении #1498110 писал(а):

irygaev в сообщении #1498082 писал(а):

Если же волновая функция системы факторизуется на волновые функции отдельных частиц, то частицы фактически не запутаны, и их измерения по произвольному базису будут давать в общем случае некоррелированные результаты, за исключением возможно одного конкретного базиса, по которому обе частицы имеют единственное состояние с вероятностью 1.

Опять не верно, см. предыдущий пункт: у нас было изначально не запутанное состояние, но результаты измерений в нужном базисе были скореллированные.

Так у меня и написано "за исключением одного конкретного базиса".

[mihaild]

(Оффтоп)

irygaev в сообщении #1498117 писал(а):

Нет. Обычное математическое. Имеется в виду корреляция результатов многократных измерений одинаково запутанных частиц.

По обычному математическому определению если результат измерения первой частицы всегда одинаковый, то он не коррелирует ни с чем (даже сам с собой).