Дополнительный минор и «Три мушкетера».

[Alexey Rodionov]

Прямо с утра:

Вижу, что-то неладно в мире,
Хорошо бы заняться им.

В самом деле: почему три мушкетера, когда их, как минимум, четыре?
Ну, это ладно. Писатель, вития, живет страстями. Простительно.

А вот почему если $A$ — квадратная матрица порядка $n$, то минор порядка ${n-1}$, получаемый вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца, называется дополнительным минором элемента $a _{i,j}$ ?
Ведь он от $a _{i,j}$ не зависит, так же как и соответствующее алгебраическое дополнение $A _{i,j}$.

Помимо несуразности, такое определение сбивает студентов с толку.

На пример. Я говорю, что $ \sum _i a _{i,k} A_{i,j} =0 $ потому, что это определитель матрицы, в которой два одинаковых столбца, на что мне возражают, что если в матрице нет элемента $a _{i,j}$ , то нет и его алгебраического дополнения, так что эта запись смысла не имеет. Если следовать определению, то такое соображение напрашивается, к тому же подкрепляется распространенным суеверием, что матрица – это прямоугольная таблица чисел.
Я стал говорить "минор $i,j$", а "алгебраическое дополнение" из лексикона изгнал. Конечно, приходится заметить, что исторически сложилось то-то и то-то. А вы как поступаете?

[mihaild]

Alexey Rodionov в сообщении #1498006 писал(а):

почему если $A$ — квадратная матрица порядка $n$, то минор порядка ${n-1}$, получаемый вычеркиванием $i$-й строки и $j$-го столбца, называется дополнительным минором элемента $a _{i,j}$ ?

По определению, а с определениями не спорят.
На рукомашестве - это максимальный минор, не включающий $a_{i.j}$, поэтому он "дополняет" этот элемент в матрице. Вас же не смущает, что дополнение множества с ним не пересекается?

Alexey Rodionov в сообщении #1498006 писал(а):

на что мне возражают, что если в матрице нет элемента $a _{i,j}$ , то нет и его алгебраического дополнения, так что эта запись смысла не имеет

Ну значит лучше объясняйте, потому что это возражение свидетельствует о непонимании определений.

Alexey Rodionov в сообщении #1498006 писал(а):

Я стал говорить "минор $i,j$", а "алгебраическое дополнение" из лексикона изгнал.

Зря. "Дополнительный минор" - это стандартный термин, его незнание усложнит студентам жизнь.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

По определению, а с определениями не спорят.

Еще как спорят. Благодаря этому определения эволюционируют. Примеры нужны?

Цитата:

На рукомашестве - это максимальный минор, не включающий $a_{i.j}$, поэтому он "дополняет" этот элемент в матрице.

$a_{i.j}=1$, или 2, или 8, а дополнительный минор один и тот же. Может быть, этот минор что-то дополняет, но не элемент.

Цитата:

Зря. "Дополнительный минор" - это стандартный термин, его незнание усложнит студентам жизнь.

Почему "незнание". Я студентам говорю, что исторически сложилось то-то и то-то. Но сложилось плоховато. Лучше не повторять.
Вот, на пример:
Владыка решение консисторское о назначении следствия хером перечеркнул и все тем негласно успокоил.
Лесков. Соборяне. 4, 2.
Раньше вполне прилично звучало.

[Sender]

Alexey Rodionov в сообщении #1498036 писал(а):

Может быть, этот минор что-то дополняет, но не элемент.

Элемент матрицы - это не только ценный мех число, но и его положение в матрице. Надеюсь, вы не отказываете неинъективным отображениям в праве именоваться отображениями?

[mihaild]

Alexey Rodionov в сообщении #1498036 писал(а):

Благодаря этому определения эволюционируют.

Нет, определения придумывают новые, и потом (редко) оказывается, что на фоне нового класса объектов старый никому не нужен, и старые определения забываются.
В любом случае, польза может быть только от придумывания нового содержания. От замены слов пользы быть не может.

Alexey Rodionov в сообщении #1498036 писал(а):

Но сложилось плоховато. Лучше не повторять

Вы вряд ли сможете поменять сложившиеся традиции. А вот вашим студентам в результате станет сложнее читать и писать математические тексты.

[Odysseus]

mihaild в сообщении #1498009 писал(а):

Вас же не смущает, что дополнение множества с ним не пересекается?

На это так и не было ответа от ТС, но это очень хорошее сравнение и вопрос.

[Someone]

Alexey Rodionov в сообщении #1498006 писал(а):

Помимо несуразности, такое определение сбивает студентов с толку.

На пример. Я говорю, что $ \sum _i a _{i,k} A_{i,j} =0 $ потому, что это определитель матрицы, в которой два одинаковых столбца, на что мне возражают, что если в матрице нет элемента $a _{i,j}$ , то нет и его алгебраического дополнения, так что эта запись смысла не имеет.

Странно. Я преподавал в ВУЗе больше 40 лет, и за это время никто мне таких возражений не предъявлял и не жаловался, что это сбивает его с толку. Должно быть, Вы сами сбились с толку и из-за этого объясняете что-то не так, вот Вам и возражают.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Вас же не смущает, что дополнение множества с ним не пересекается?

Вопрос риторический, а сравнение хромает. В матрице $a_{i,j}$ может принимать любое значение без изменения алгебраического дополнения. Во множестве это не так.
Вообще: как заменить элемент во множестве?

$\{a,b\} - \{b\} \cup \{c\} = \{a,c\}$

$\{a,b\} - \{b\} \cup \{a\} = \{a\}$

Отображение и множество не одно и тоже.

-- 28.12.2020, 15:19 --

Цитата:

Элемент матрицы - это не только ценный мех

$ A : I \times J \rightarrow K $ - это матрица.
$ A(i,j) = a_{i,j}$ - элемент матрицы.

-- 28.12.2020, 15:27 --

Цитата:

В любом случае, польза может быть только от придумывания нового содержания. От замены слов пользы быть не может.

Гротендик бы с Вами не согласился. И Лесков позволяет усомниться.

А я соглашусь. Можно попробовать назвать все эти штуки их историческими именами и заметить, что имена выбраны не совсем удачно. В самом деле: не переименовывать же морского конька.

[mihaild]

Alexey Rodionov, гораздо лучше, чтобы в цитате было указано, из какого она сообщения. Для получения такого эффекта выделите цитируемый фрагмент и нажмите кнопку "вставка" в цитируемом сообщении.

Alexey Rodionov в сообщении #1498121 писал(а):

Вообще: как заменить элемент во множестве?

А как заменить элемент в матрице?

Alexey Rodionov в сообщении #1498121 писал(а):

Отображение и множество не одно и тоже

Ну да, отображение - это множество специального вида. Но причем здесь это?

Alexey Rodionov в сообщении #1498121 писал(а):

$ A(i,j) = a_{i,j}$ - элемент матрицы

Когда говорят о "дополнительном миноре" элементом называется именно конкретная позиция. В матрице $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}$ значения элементов верхней строки совпадают, а дополнения у них разные.
Некоторая путаница, но ничему не мешающая. Из той же серии, когда мы сначала определяем группу как пару (носитель, операция), а потом пишем "$G$ - группа, $x \in G$".

Alexey Rodionov в сообщении #1498121 писал(а):

Гротендик бы с Вами не согласился. И Лесков позволяет усомниться

Можно конкретные цитаты?

Alexey Rodionov в сообщении #1498121 писал(а):

Можно попробовать назвать все эти штуки их историческими именами и заметить, что имена выбраны не совсем удачно

Это всё стоит оставить для замечательного и всеми любимого предмета "История математики". В курсе линала рассуждения об истории лишние.

(Оффтоп)

Если уж что переделывать стандартные термины и обозначения, то начать надо с символов Ландау. $O(n) = O(n^2)$, но $O(n^2) \neq O(n)$, ужас же.

[Alexey Rodionov]

mihaild в сообщении #1498130 писал(а):

Можно конкретные цитаты?

Лескова прямо здесь и смотрите (27.12.2020, 22:02), а Гротендика нельзя. Может быть, будет достаточно глянуть на то, как он называл свои произведения. На пример, crystalline cohomology или motives.