Первый член ряда.

[turtas]

Рассмотрим функцию $\frac{z^3}{(1-\cos z)^2}$, нужно найти ее первый член разложения в ряд Лорана по степеням $(z-2\pi k)$, при этом $k \neq 0$. Я рассуждаю так: при $z \to 2 \pi k$ главная часть числителя $(2\pi k)^3$, а знаменатель представим как $(1-\cos(z-2\pi k))^2$ и разложим в ряд Лорана. Тогда главная часть знаменателя $(z-2\pi k)^4$. В итоге, первый член ряда: $\frac{(2\pi k)^3}{(z-2 \pi k)^4}$. Есть ли тут ошибки в рассуждениях?

[Otta]

turtas в сообщении #1497980 писал(а):

Тогда главная часть знаменателя $(z-2\pi k)^4$.

Не. Сочетание "главная часть" для разложения в ряд Лорана - зарезервированный термин и тут это не оно.
Ответ какой-то такой и будет. Но не при всех $k$, очевидно.
Как бы я делала. Определила бы порядок полюса (если это полюс). Представила в виде ряда Лорана для такой точки в общем виде, начиная с нужного слагаемого (с неопределенными коэффициентами). Домножила на что нужно, подставила что просится. Получится само.

[turtas]

Otta
Но при $k$, не равных нулю такой ответ вроде и будет?

[Otta]

Ответ - да. Но ответ - это не решение.

[alisa-lebovski]

По-моему, множитель потеряли, при разложении косинуса.