Определение многочлена

[EminentVictorians]

Возникли трудности с определением многочлена (над произвольным полем $K$). Приведу цитату из Винберга.

Винберг, стр. 93 писал(а):

Выход состоит в формальном определении, при котором многочлен фактически отождествляется с последовательностью его коэффициентов.
Рассмотрим векторное пространство $K^\infty$ финитных последовательностей элементов поля $K$ (см. пример 2.2.9). Условимся нумеровать члены последовательностей, начиная с нуля, и пусть $e_k$ ($k = 0, 1, 2,...$) обозначает последовательность, $k$-ый член которой равен 1, а все остальные члены равны 0. Последовательности $e_0$, $e_1$, $e_2$, ... образуют базис пространства $K^\infty$.
Превратим пространство $K^\infty$ в алгебру, определив умножение базисных векторов по правилу

$$e_k e_l = e_{k+l}.$$

Из коммутативности и ассоциативности сложения целых чисел следует, что умножение базисных векторов, а значит, и любых элементов полученной алгебры, коммутативно и ассоциативно. Элемент $e_0$ является ее единицей. Эта алгебра называется алгеброй многочленов над $K$ и обозначается $K[x]$ (вместо $x$ может использоваться любая другая буква).
Для того чтобы перейти к привычному представлению многочленов, условимся, во-первых, отождествлять элементы вида $ae_0$ ($a \in K$) алгебры $K[x]$ с соответствующими элементами поля $K$ и, во-вторых, элемент $e_1$ обозначим через $x$ (здесь проявляется роль выбранной буква $x$). тогда в соответствии с определением операций в $K[x]$ мы получаем, что $e_k = x^k$ и

$$(a_0, a_1, a_2, ... ,a_n,0, ...) = a_0e_0 + a_1e_1 +a_2e_2 + ... + a_ne_n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n$$

.

Зачем определять многочлены так сложно? Почему нельзя просто сказать: "Многочлен над полем $K$ - это формальная сумма $a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n$, $a_i \in K$"?

[Xaositect]

Это есть некоторое объяснение того, что такое "формальная сумма". Попробуйте дать свое формальное определение формальной суммы без объяснений на примерах, получится что-то похожее.

[EminentVictorians]

Xaositect в сообщении #1497797 писал(а):

Попробуйте дать свое формальное определение формальной суммы без объяснений на примерах, получится что-то похожее.

Я бы вот как определил. Формальная сумма - это упорядоченная пара $(A, +)$, где $A$ - упорядоченная $n$-ка элементов поля, а $+$ - операция. При таком определении формальные суммы всегда конечны, но это легко обобщается и на счетный бесконечный случай, если надо.

EminentVictorians в сообщении #1497793 писал(а):

Почему нельзя просто сказать: "Многочлен над полем $K$ - это формальная сумма $a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n$, $a_i \in K$"?

Забыл здесь указать ограничение, что коэффициент при старшей степени, если она не $x^0$, не равен нулю. А то без этого ограничения сложение многочленов не является операцией в привычном смысле слова. И "нейтральных элементов" бесконечно много получается.

[Xaositect]

EminentVictorians в сообщении #1497798 писал(а):

Я бы вот как определил. Формальная сумма - это упорядоченная пара $(A, +)$, где $A$ - упорядоченная $n$-ка элементов поля, а $+$ - операция.

Не до конца понимаю, какая операция? И где здесь определено умножение многочленов?

Если я правильно Вас понял, у Винберга, по сути, то же самое. Множество финитных последовательностей $K^{\infty}$, если сильно хочется, можно заменить на $\{0\} \cup \bigcup_{n = 1}^\infty \{a \in K^n \mid a_n \neq 0\}$. Правда, на таком множестве придется вводить сложение заново, а на последовательностях все уже определено.

[EminentVictorians]

Xaositect в сообщении #1497801 писал(а):

Не до конца понимаю, какая операция?

"$+$" в $(A, +)$ - это операция поля $K$, а не операция на множестве многочленов.


Тут просто дело вот еще в чем. Винберг в теме про векторные пространства (которая до многочленов) определяет линейные комбинации просто как формальные суммы. Раз там можно, почему здесь нельзя?

-- 26.12.2020, 00:33 --

Xaositect в сообщении #1497801 писал(а):

Множество финитных последовательностей $K^{\infty}$, если сильно хочется, можно заменить на $\{0\} \cup \bigcup_{n = 1}^\infty \{a \in K^n \mid a_n \neq 0\}$.

Вот это множество мне как-то более понятно. Просто все упирается в то, что я не хочу мыслить многочлен как бесконечную запись с бесконечным хвостом нулей в конце.

[Xaositect]

EminentVictorians в сообщении #1497802 писал(а):

Тут просто дело вот еще в чем. Винберг в теме про векторные пространства (которая до многочленов) определяет линейные комбинации просто как формальные суммы. Раз там можно, почему здесь нельзя?

Линейная комбинация - это не формальная сумма, а обычная. На векторном пространстве по определению есть операции сложения и умножения на скаляр, так что выражение $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_n v_n$ уже имеет смысл.
Когда мы определяем многочлены, мы должны одновременно определить множество многочленов и операции сложения на нем. Когда говорят, что многочлен - это формальная сумма, имеется в виду следующее: мы пока не определили операции сложения и умножения на скаляр, поэтому, строго говоря, выражения $a_k x^k$ и $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_n x^n$ не имеют смысла ("формальны"), но мы можем ввести сложение и умножение этих выражений, постулировав, что сложение коммутативно и ассоциативно, умножение на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров и сложения выражений, и $0 + x = x$. Так можно сделать, но полностью описывать это длиннее и муторнее, чем через последовательности.

[EminentVictorians]

Xaositect в сообщении #1497815 писал(а):

Линейная комбинация - это не формальная сумма, а обычная.

Этот момент мне не очень понятен.

"Обычной суммой" естественно считать просто значение $+(a, b)$ функции $+:M^2 \to M$ на некоторой упорядоченной паре $(a, b)$ элементов какой-нибудь алгебраической структуры $(M, +)$. Если $M$ является группой, то можно пойти чуть дальше и считать "обычной суммой" значение выражения $a_1 + a_2 + ... + a_n$ (а не само выражение). Строго говоря, выражение $a_1 + a_2 + ... + a_n$ есть упрощенная запись выражения $(...(a_1 + a_2) + ... + a_n)$, но учитывая ассоциативность групповой операции, расстановка скобок ни на что не влияет и ее можно не учитывать.

Именно поэтому я не очень согласен с тем, что линейная комбинация - это обычная сумма. Т.к. вектора относительно $+$ образуют абелеву группу, то обычной суммой естественно считать значение линейной комбинации $\lambda_1\vec{a_1} + ... + \lambda_n\vec{a_n}$, но никак не ее саму. Разные линейные комбинации могут иметь одно и то же значение, но они все равно разные. Поэтому я и рассматриваю линейную комбинацию именно как формальную сумму, что, переводя на теоретико-множественный язык, есть упорядоченная тройка $(L, A, +)$, где $L$ - упорядоченный набор коэффициентов поля, $A$ - упорядоченный набор векторов, $+$ - операция поля.

Xaositect в сообщении #1497815 писал(а):

мы пока не определили операции сложения и умножения на скаляр, поэтому, строго говоря, выражения $a_k x^k$ и $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_n x^n$ не имеют смысла ("формальны")

Я только сейчас понял, где была ошибка. Я определял формальную сумму так: формальная сумма $a_1+ ... + a_n$- это упорядоченная пара $(A, +)$, где $A$ - упорядоченная $n$-ка $(a_1, ... , a_n)$ элементов поля, а $+$ - операция поля. Но ведь выражения $a_k x^k$ не являются элементами поля (т.к. никакого поля, кроме поля скаляров, пока нету; а в поле скаляров никаких иксов нету), поэтому мое первоначальное определение формальной суммы к ним не применимо. Поэтому многочлен формальной суммой в моем смысле не является.


А что если принять такое определение многочлена.

1. Полиномиальной функцией $f$ будем называть любую функцию, представимую в виде $f = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n, a_i \in K$

2. Многочлен над полем $K$ - это упорядоченная пара $(F, M)$, где $F$ - полиномиальная функция, а $M$ - упорядоченный набор $(a_0, a_1, ... , a_n)$ элементов поля $K$ (в котором коэффициент при старшей степени, если она не $x^0$, не равен нулю), такой, что $F = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n$?

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1497818 писал(а):

Разные линейные комбинации могут иметь одно и то же значение, но они все равно разные.

Нет, потому что базис...

-- 26.12.2020, 12:50 --

EminentVictorians в сообщении #1497818 писал(а):

любую функцию, представимую в виде

А что такое "функция" и "представимая в виде"?...
И почему это будет проще, в итоге?

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1497818 писал(а):

формальная сумма $a_1+ ... + a_n$- это упорядоченная пара

Формальная сумма — это строка символов.

Чтобы меньше путаться, может быть, стоит иметь в виду, что мы всегда имеем дело только с именами математических объектов, а не с самими объектами. Даже когда мы говорим "число 5", то "5" — это не само число, а его имя (а когда я написал его в кавычках, то подразумевал имя имени). И объект может иметь много имён. Например, "2+3" — это имя того же числа 5.

Чтобы превратить формальную сумму в "обычную", мы должны определить, именами каких именно объектов являются "$a_1a_n", и что означает символ "+", то есть, определить ту самую функцию.

[EminentVictorians]

Geen в сообщении #1497819 писал(а):

Нет, потому что базис...

Не понимаю, при чем здесь базис?

Geen в сообщении #1497819 писал(а):

А что такое "функция"

Я использую обычное теоретико-множественное определение функции, как функционального отношения (ну или упорядоченной пары (домен, функциональное отношение)).

Geen в сообщении #1497819 писал(а):

"представимая в виде"

Это стандартное утверждение, означающее, что при любом $a \in K$ значение функции $F$ совпадает со значением выражения, полученного в результате подстановки вместо каждого вхождения переменной $x$ значения $a \in K$.

Geen в сообщении #1497819 писал(а):

И почему это будет проще, в итоге?

Потому что многочлены будут мыслиться конечными, а не бесконечными.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1497823 писал(а):

при чем здесь базис?

При том, что каждый элемент линейного пространства представляется только одной линейной комбинацией элементов базиса, а многочлены $1,x,x^2,\ldots$ образуют базис. По определению.

EminentVictorians в сообщении #1497818 писал(а):

Разные линейные комбинации могут иметь одно и то же значение, но они все равно разные.

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1497825 писал(а):

При том, что каждый элемент линейного пространства представляется только одной линейной комбинацией элементов базиса

Именно что элементов базиса. А я про базис не писал, а писал лишь про произвольные линейные комбинации векторов пространства.

Someone в сообщении #1497825 писал(а):

а многочлены $1,x,x^2,\ldots$ образуют базис.

Там, где я писал про линейные комбинации, очевидно, имелось в виду произвольное векторное пространство, а не векторное пространство многочленов над полем $K$.

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1497820 писал(а):

Формальная сумма — это строка символов.

Я сильно плаваю во всех этих вещах, связанных с именами и т.д. Я понимаю так, что, с наиболее распространенной точки зрения, любое математическое понятие - это множество, построенное в ZFC. В этом смысле, формальная строка не является математическим объектом, верно?

[Geen]

EminentVictorians в сообщении #1497823 писал(а):

при любом $a \in K$ значение функции $F$ совпадает со значением выражения, полученного в результате подстановки вместо каждого вхождения переменной $x$ значения $a \in K$.

А с чего это $x$ должен быть элементом $K$?
И хорошо, возьмём, например, такую простую функцию как экспонента - она представима полиномом (а это требует отдельной проверки согласно Вашему определению полиномиальной функции)?

EminentVictorians в сообщении #1497823 писал(а):

Потому что многочлены будут мыслиться конечными, а не бесконечными.

С чего бы вдруг? И если конечными, то сколько именно?

[EminentVictorians]

Geen в сообщении #1497854 писал(а):

А с чего это $x$ должен быть элементом $K$?

Я нигде не писал, что $x$ - элемент поля $K$. $x$ - это переменная в многочлене $P$ над полем $K$. И если вместо каждого свободного вхождения переменной $x$ в $P$ подставить какой-нибудь элемент поля $K$, то получится выражение, значением которого является некоторый элемент поля $K$. С чем тут можно спорить, я не знаю. Если я Вас неправильно понял, сформулируйте вопрос подробнее.

Geen в сообщении #1497854 писал(а):

И хорошо, возьмём, например, такую простую функцию как экспонента - она представима полиномом

Вы уверены?

Geen в сообщении #1497854 писал(а):

С чего бы вдруг? И если конечными, то сколько именно?

$n$