Ортогональное дополнение в пространстве Соболева

[thething]

Требуется найти ортогональное дополнение в пространстве $W_2^1[-1,1]$ к множеству $M=\{x\in W_2^1[-1,1]:\;\forall t\leq0\;x(t)=0\}.$

Прежде всего, рассматривая только достаточно гладкие функции, и применяя интегрирование по частям, получаем, что, если $y\in M^\perp$, то $(x,y)=\displaystyle\int \limits_{-1}^{1} \left( x'y'+xy \right) dt = y'(1)x(1) - \int \limits_{0}^{1} \left( y''- y \right) x dt=0.$ Отсюда получаем, что $ y''- y=0,\;0<t<1$ и $y'(1)=0$. Решая это находим $y(t)=c\cosh(1-t),\;0\leq t\leq1$, что совпадает с ответом. Дальше мне непонятно как показать, что негладких функций в ортогональном дополнении нет? Наверное, тут всё элементарно, просто в голову не приходит, как действовать.

[Red_Herring]

thething в сообщении #1497588 писал(а):

Дальше мне непонятно как показать, что негладких функций в ортогональном дополнении нет?

Они же должны принадлежать пространству $W^1_2([-1,1])$.

[thething]

Red_Herring в сообщении #1497589 писал(а):

Они же должны принадлежать пространству $W^1_2([-1,1])$.

Не совсем понял Ваше замечание. Я так понимаю, что рассуждение с интегрированием по частям работает с функциями класса $C^2[-1,1]$ (которые действительно лежат в $W^1_2([-1,1])$), но ведь в пространстве Соболева в общем случае лежат абсолютно непрерывные, имеющие лишь интегрируемую производную. Почему в ортогональном дополнении не может быть иных функций, не класса $C^2[-1,1]$?

[Red_Herring]

thething в сообщении #1497590 писал(а):

Почему в ортогональном дополнении не может быть иных функций, не класса $C^2[-1,1]$?

Я прочитал "негладкие" как "разрывные".

Но для того, чтобы показать, что $y''-y=0$ на $(-1,1)$ вообще ничего не нужно: это уравнение понимается в смысле обобщенных функций.

[thething]

Задачу надо решить "элементарными средствами", ибо в задачнике (Бородин, Савчук, Шейпак) эта тема идёт задолго до обобщённых функций. Она даже не помечена, как особо трудная, но как показать, что негладких в дополнении нет, не соображу. Возможно, это и не имелось ввиду...

[mihaild]

Так любая функция однозначна представима в виде функции из вашего множества и $M$.

[worm2]

Ну, например, функция

$$y(t)=\left\{\begin{array}{l} t, \, t < 0\\ 0, \, t \geqslant 0 \end{array}\right$$

лежит в дополнении, но не является гладкой в классическом смысле.
Хотя является гладкой в том смысле, что имеет обобщённую производную в $L_2$. Ну так любая функция из $W_2^1$ этим свойством обладает, значит и из любого подпространства тоже, в том числе из ортогонального чему-то там.
Если бы в задаче спрашивали: "Требуется найти ортогональное дополнение в пространстве $L_2[-1, 1]$ ...", а далее строго по тексту, то тогда вопрос был бы не таким тривиальным, но на него ответ был бы отрицательным: при $t < 0$ функция могла бы вести себя как угодно, не имея обобщённой производной (лишь бы не вылезала за пределы $L_2$).

[thething]

mihaild
Спасибо! С этой стороны даже не думал посмотреть. Думал, надо как-то напрямую доказывать, что все функции дополнения достаточно гладкие (в других задачах это сделать получается, например, используя конечномерность).