Plane Geometry 1

[rsoldo]

Given a circle and the tangent $t$ at point $M$. From every point $A$ of straight line $g$ that doesn't cut the circle and parallel with $t$, we draw tangents on given circle which cut the straight line $t$ at points $X$ and $Y$. Prove that the product $|XM|\cdot|YM|$ doesn't depend on position of point $A$.

[arqady]

Пусть данная окружность и прямая $g$ расположены по разные стороны от касательной $t$, $AX=y$, $AY=x$, $h_a$ - высота $\Delta AXY$, $r_a$ - радиус данной окружности и $S$ - площадь $\Delta AXY$.
Тогда,

$$\frac{h_a}{r_a}=\frac{\frac{2S}{a}}{\frac{2S}{x+y-a}}=\frac{x+y-a}{a}=\frac{x+y+a}{a}-2,$$

что даёт:

$$XM\cdot YM=\frac{(a+x-y)(a+y-x)}{4}=\frac{(a+x+y)(a+x-y)(a+y-x)(x+y-a)}{4(a+x+y)(x+y-a)}=$$

$$=\frac{16S^2}{4\left(\frac{h_a}{r_a}+2\right)\cdot\frac{2S}{h_a}\cdot\frac{h_a}{r_a}\cdot\frac{2S}{h_a}}=\frac{h_ar_a^2}{h_a+2r_a}.$$

[wrest]

Утверждение справедливо так же если $g$ пересекает окружность в двух точках, но $A$ лежит вне круга.