2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Plane Geometry 1
Сообщение24.11.2020, 10:21 


01/08/19
95
Given a circle and the tangent $t$ at point $M$. From every point $A$ of straight line $g$ that doesn't cut the circle and parallel with $t$, we draw tangents on given circle which cut the straight line $t$ at points $X$ and $Y$. Prove that the product $|XM|\cdot|YM|$ doesn't depend on position of point $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Plane Geometry 1
Сообщение23.12.2020, 11:22 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Пусть данная окружность и прямая $g$ расположены по разные стороны от касательной $t$, $AX=y$, $AY=x$, $h_a$ - высота $\Delta AXY$, $r_a$ - радиус данной окружности и $S$ - площадь $\Delta AXY$.
Тогда, $$\frac{h_a}{r_a}=\frac{\frac{2S}{a}}{\frac{2S}{x+y-a}}=\frac{x+y-a}{a}=\frac{x+y+a}{a}-2,$$ что даёт:
$$XM\cdot YM=\frac{(a+x-y)(a+y-x)}{4}=\frac{(a+x+y)(a+x-y)(a+y-x)(x+y-a)}{4(a+x+y)(x+y-a)}=$$
$$=\frac{16S^2}{4\left(\frac{h_a}{r_a}+2\right)\cdot\frac{2S}{h_a}\cdot\frac{h_a}{r_a}\cdot\frac{2S}{h_a}}=\frac{h_ar_a^2}{h_a+2r_a}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Plane Geometry 1
Сообщение23.12.2020, 18:06 


05/09/16
11469
Утверждение справедливо так же если $g$ пересекает окружность в двух точках, но $A$ лежит вне круга.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group