Асимптотика интеграла с функцией ошибок [методом Лапласа]

[GAA]

Нужно найти асимптотику интеграла
$J = \int\limits_1^{+\infty} (1-z)\left[\operatorname {erf} \left( p \frac {1-z} {\sqrt z}\right) +1 \right] dz$, $p \to \infty$.
Интегрируя по частям, сведём задачу к интегралу Лапласа
$J = -\frac {1}{2} +\frac{p}{\sqrt \pi} \int\limits_1^{\infty} \frac{z+1} {z^{3/2}} (z-z^2/2) e^{-p^2\frac {(z-1)^2}{z}} dz$.
Раскладывая $\frac{z+1} {z^{3/2}} (z-z^2/2)$ и $\frac {(z-1)^2}{z}$ в точке $z=1$ до второго порядка, подставляя в интеграл и делая замену, получим
$J_a=-\frac {1}{2} +\frac{p}{\sqrt \pi} \int\limits_0^\infty \left(1- w +\frac {1} {8} w^2 \right) e^{-p^2 w^2} dw$.
Разбивая последний интеграл на три интеграла, окончательно получим
$J_a=-\frac {1}{2} +\frac{p}{\sqrt \pi} \left(\frac {\sqrt \pi}{2p} - \frac {1}{2p^2} + \frac {\sqrt \pi}{32 p^3} \right)= -\frac {1}{2 \sqrt \pi p} + \frac {1}{32 p^2} $.
Что-то у меня значения окончательного выражения $J_a$ не сходятся со значениями исходного $J$.
Где я ошибаюсь? Техническая ошибка или нужно по-другому?

[DeBill]

Мне кажется, метОда правильная. Но вот тут

GAA в сообщении #1497215 писал(а):

делая замену, получим

у меня получилось МИНУС ТРИ восьмых - вместо одной восьмой...

[lel0lel]

\begin{gather}\nonumber J=-\frac{1}{16p^4}\left[4 p^2+\frac{12 p}{\sqrt{\pi}}+3+e^{4 p^2} \left(\operatorname{erf}(2 p)-1\right)(8 p^2-3)\right]\sim -\frac{1}{4 p^2}-\frac{1}{2 \sqrt{\pi } p^3} \end{gather}

[GAA]

DeBill, спасибо! Заглючился с преобразованиями и дойдя до этого интеграла замену не выполнил.

-= Добавлено на следующий день =-

Пока воспользовался схемой из книги Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, 1978.
[Схемой с $e^{-p^2w^2}$ пока нет времени заняться, но позже постараюсь.]

Взял разложения с запасом членов. В результате
$J_a_4 =-\frac {1}{2} +\frac{p}{\sqrt \pi} \int_0^{+\infty} \left(\frac {1}{2 \sqrt v} - \frac {\sqrt v }{2 } - \frac {v}{2} - \frac {v^{3/2}}{4}\right) e^{-p^2v}dv = -\frac {1}{4p^2} -\frac {1}{2 \sqrt \pi p^3} - \frac {3}{16 p^4}$;
$J_a_3 =-\frac {1}{4p^2} - \frac{1}{2 \sqrt \pi p^3}$.
На рисунке построены графики отношений численно найденного интеграла к аппроксимации.

Вложение:

Комментарий к файлу: Рис. 1

erf_as.PNG [ 14.14 Кб | Просмотров: 0 ]

Отношение неплохо стремится к 1 с увеличением значения $p$.

lel0lel, спасибо.

[DeBill]

GAA в сообщении #1497226 писал(а):

Заглючился с преобразованиями и дойдя до этого интеграла замену не выполнил.

Что забавно - я тоже...
Но если таки замену сделать - то получается, да (по крайней мере, первые члены)

[GAA]

Пример 2. Два параметра. Сближение корней

Нужно найти асимптотику при $a \to \infty$ и $p \to \infty$ интеграла
$ \int\limits_1^{+\infty} e^{a (1-z)} \left[\operatorname {erf} \left( p \frac {1-z}{\sqrt z}\right) -1 \right] dz$.
( $p^2$ и $a$ линейно зависят от одного прикладного параметра, который стремится к бесконечности.)
Проинтегрировав по частям, получим
$ -\frac 1 {a} \left[1 + \frac p {\sqrt \pi} \int\limits_1^{\infty} e^{-p^2 \left( \frac {(z-1)^2}{z}+\beta (z-1)\right)} \frac {z+1}{z^{3/2}}dz \right].$
$\beta$ — малый положительный параметр. Обозначим выражение в квадратных скобках через $J$. Т.е. $J$ — это искомый интеграл без множителя перед скобками, который не относится к теме.

Так как $\beta > 0$, то на промежутке от 1 до $+\infty$ в ноль $P(z) = \frac {(z-1)^2}{z}+\beta (z-1)$ обращается только в $z=1$. Однако при малом значении параметра $\beta$ близко к $z=1$ лежит второй корень. И этот второй корень приближается к $z=1$ при уменьшении параметра $\beta$.

Применяя метод Лапласа, получим асимптотики:

$$J_{a1} =1 + \frac {2}{\sqrt {\pi} \beta \p},$$

$$J_{a2} =1 + \frac {2}{\sqrt {\pi} \beta \p} - 2\frac {\beta +2}{\sqrt {\pi} \beta ^3 p^3},$$

$$J_{a3} =1 + \frac {2}{\sqrt {\pi} \beta \p} - 2\frac {\beta +2}{\sqrt {\pi} \beta ^3 p^3} + \frac {9\beta ^2 +48\beta + 48}{2\sqrt {\pi} \beta^5 p^5}.$$

При значениях $\beta$ близких к единице с увеличением порядка аппроксимации получаем всё лучшее приближение при достаточно умеренных для моей задачи значениях $p$, см. рис. 2a.

Но с уменьшением $\beta$ ситуация ожидаемо становится плохой, см. рис. 2b.

Вложение:

Комментарий к файлу: Рис. 2b

erf_int2_b.PNG [ 13.33 Кб | Просмотров: 0 ]

Как исправить ситуацию?