Окаймляющие миноры

[EminentVictorians]

Винберг, Курс Алгебры, стр. 91 писал(а):

Задача 4.Доказать теорему о ранге матрицы в следующей более сильной форме: если в матрице $A$ имеется минор порядка $r$, отличный от нуля, а все миноры порядка $r+1$, получаемые приписыванием к нему одной строки и одного столбца (так называемые окаймляющие миноры), равны нулю, то $rk A = r$.

Я построил вот такую матрицу:

$$M = \begin{pmatrix} 7&1&1&1 \\ 0&1&0&2 \\ 0&1&0&1 \\ 0&0&0&1 $ \end{pmatrix}$$

В ней есть ненулевой (точнее - равный единице) минор порядка 1 (элемент $m_{32}$). Все его окаймляющие миноры равны нулю. А ранг самой матрицы равен 3, а не 1. Где ошибка?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1497276 писал(а):

Все его окаймляющие миноры равны нулю

Это неправда. Строки и столбцы не обязаны быть соседними (да и сам минор же может быть "с дырками"). В частности одним из окаймляющих миноров для этого будет $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1497276 писал(а):

Все его окаймляющие миноры равны нулю.

Не все. Понимаете ли Вы, что такое окаймляющий минор?

[EminentVictorians]

mihaild
nnosipov
Сейчас понял, что такое окаймляющий минор. То, что сам минор может быть с дырками, я знал. А про эту теорему думал, что она только про "цельные" миноры, которые окаймляются ближайшими строками и столбцами. Сейчас все понял, благодарю за помощь.

[StaticZero]

(Оффтоп)

EminentVictorians, в латексе можно нарисовать "оператор" взятия ранга с произвольным обозначением:
$\operatorname{rk} A$     \operatorname{rk} A
$\operatorname{rang} A$ \operatorname{rang} A.