Факт из линейной алгберы

[vatrushka]

Здравствуйте
При разборе решения одной из задач, наткнулся на следующий факт. Автор пишет:
"Т.к. $A^2 = E$, то матрица $A$ - диагонализируемая.
А откуда это берется, не подскажете?
Спасибо

-- 18.12.2020, 21:54 --

Единственное , что я понял, это то, что если $A^2 = E$ то $\lambda_i = \pm 1$

-- 18.12.2020, 21:56 --

Да, еще в задаче идет диалог про матрицу размера 9х9, но я не знаю точно как это применить

[teleglaz]

vatrushka в сообщении #1497117 писал(а):

Единственное , что я понял, это то, что если $A^2 = E$ то $\lambda_i = \pm 1$

Ну а чему тогда равен определитель матрицы $A$?

[vatrushka]

$det A = \pm 1$

[Padawan]

Если поле алгебраически замкнуто, то рассмотрите жорданову форму оператора $A$. Если не замкнуто, то можно все равно считать, что замкнуто. Так как ранг матриц не зависит от того, в каком поле мы работаем. Поэтому $\operatorname{dim}\operatorname{Ker} (A-E)+\operatorname{dim}\operatorname{Ker} (A+E)=n$ (размерность пространства). Значит, можно найти базис, состоящий из собственных векторов $A$ (с собственными числами $\pm 1$).

Также есть теорема (см. Гантмахер Теория матриц, Глава VII), что если минимальный многочлен $A$ раскладывается в произведение взаимно простых многочленов $\chi(\lambda)=\varphi(\lambda)\psi(\lambda)$, то пространство раскладывается в прямую сумму инвариантных подпространств, на первом из которых минимальным многочленом будет $\varphi$, на втором - $\psi$.

-- Сб дек 19, 2020 12:59:58 --

Кстати, если характеристика 2, то $A^2=E$ равносильно $(A-E)^2=0$ и матрица $A$ уже не обязательно диагонализируема. Например, $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$