Есть такой себе интеграл:

,
где

действительное число. Интеграл вроде как должен сходиться к линейной комбинации гамма-функций, но нет возможности проверить в mathematica. Пытаюсь взять методами ТФКП. Рассмотрим

и соответствующий интергал

в комплексной плоскости. Очевидно, функция

многозначна. За исключеним точки

эта функция принимает бесконечное множество значений во всех остальных точках комплексной плоскости. Пользуясь определением степенной функции,
![$(z-1)^{1 + i \alpha} = \exp [(1+i \alpha) \text{Ln} (z-1)] = \exp [(1+i \alpha) (\ln |z-1| + i (\varphi + 2 \pi k) )]$ $(z-1)^{1 + i \alpha} = \exp [(1+i \alpha) \text{Ln} (z-1)] = \exp [(1+i \alpha) (\ln |z-1| + i (\varphi + 2 \pi k) )]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/f/10fecf8a2ea390a9551a4de7f83fa8cb82.png)
, где

и

. Выберем ветвь этой многозначной функции, которая в комплексной плоскости с разрезом по лучу
![$(-\infty, 1]$ $(-\infty, 1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/5/c0562dd4719d3c9988ddb48ac18ca70582.png)
регулярна и соответсвует

и

. Получим
![$(z-1)^{1 + i \alpha} = \exp [(1+i \alpha) (\ln |z-1| + i \varphi)] $ $(z-1)^{1 + i \alpha} = \exp [(1+i \alpha) (\ln |z-1| + i \varphi)] $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/c/37c17ab1da4b5179d91bd27237e44b0c82.png)
. Рассмотрим область, граница которой положительно ориентированна и состоит из:

, где
![$C_1 = [1+\varepsilon, R]$ $C_1 = [1+\varepsilon, R]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/0/ab0e0a1a13a3fade483df298c2dc063c82.png)
,

--- дуга окружности в первом квадранте

,
![$\varphi \in [0, \pi/2]$ $\varphi \in [0, \pi/2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/9/0b9a0a8632a795d511df78b67eac3e9f82.png)
, где

;

--- отрезок, соединяющий точки

и

;

--- отрезок соединяющий

и

;

--- четверть окружности, завершающая контур.
(Выбор именно такого контура в частности продиктован физическим содержанием

как координаты сугубо положительной).
Подынтегральная функция (с выбранной выше регулярной ветвью многозначной функции) регулярна в рассматриваемой области. Поэтому по теореме о вычетах сумма пяти интегралов по частям контура должна равнятся нулю:

.
Интеграл вдоль

стремится к нулю в пределе

исходя из леммы Жордана. Аналогично показывается что в пределе

исчезает интграл в доль

. Интеграл вдоль

в пределе

и

превращается в интересуемый нас интеграл, который мы обозначим

.
Для интеграла вдоль

:

, где

,

,

![$\int_{C_2} f(z) dz = \int_{0}^R dt \dfrac{\exp [(1+i \alpha) (\ln |i t-1| + i \pi/2)]} {t^3} e^{- \alpha t}$ $\int_{C_2} f(z) dz = \int_{0}^R dt \dfrac{\exp [(1+i \alpha) (\ln |i t-1| + i \pi/2)]} {t^3} e^{- \alpha t}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/2/6a233b3a1af5db0445cf6851c0111b7e82.png)
с последующим устремлением

в

.
Прежде чем расстраиваться глядя на этот интеграл, я еще записал последний:

,

![$\int_{C_3} f(z) dz = \int_{0}^1 dt \dfrac{\exp [(1+i \alpha) (\ln |t + i \varepsilon-1|)]}{t^3} e^{i \alpha t} e^{-\varepsilon}$ $\int_{C_3} f(z) dz = \int_{0}^1 dt \dfrac{\exp [(1+i \alpha) (\ln |t + i \varepsilon-1|)]}{t^3} e^{i \alpha t} e^{-\varepsilon}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/a/51a812a91e84c1f74dde7bf276c24fb082.png)
или в пределе
![$\int_{0}^1 dt \dfrac{\exp [(1+i \alpha) (\ln |t-1|)]}{t^3} e^{i \alpha t}$ $\int_{0}^1 dt \dfrac{\exp [(1+i \alpha) (\ln |t-1|)]}{t^3} e^{i \alpha t}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/1/af1c122d2d1295d3a10d00bdfb47d70a82.png)
ИТОГ: я получил кроме интересующего меня интеграла

еще два, которые вроде как не выржаются через

и не легче того, что был вначале. Что я делаю не так? Спасибо.