Задача про незатухающие гармонические колебания

[Kanaev]

Частица массы $m$ может совершать незатухающие гармонические колебания под действием упругой силы с коэффициентом $k$. Когда частица находилась в состоянии равновесия, к ней приложили постоянную силу $F$, которая действовала в течение $\tau$ секунд. Найти амплитуду колебаний частицы после окончания действия силы.
Второй закон Ньютона: $m\ddot{x}+kx=F$

$\dot{x}=\frac{dx}{dt}$

$\ddot{x}=\frac{d\dot{x}}{dt}$
Если собрать три уравнения вместе, то не получится ничего хорошего: $\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt})+\frac{kx}{m}=\frac{F}{m}$
Так вот, это мне не хватает математических навыков, чтобы это решить, или уравнений?

[StaticZero]

Здесь есть такой трюк: в постоянном силовом поле осциллятор максимум смещает воё положение равновесия; уравнение превращается в

$$ m \ddot {\mathbf r} + k \left( \mathbf r - \frac{\mathbf F}{k} \right) = 0. $$

$\mathrm d/\mathrm dt$ от скобки то же самое, что $\mathrm d/\mathrm dt$ от $\mathbf r$. Дальше понятно.

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1496998 писал(а):

Дальше понятно.

Немного с другой стороны:
общее решение неоднородного линейного диф. уравнения представляет собой сумму общего решения однородного и частного решения неоднородного. Удобное частное решение неоднородного подсказано выше: $x_n=F/k$, а решение однородного выбирается из начальных условий.

(Была опечатка, поправлено.)

[Kanaev]

1)Я так и не понял как использовать то, что сказал StaticZero
2)Также я попытался решить диффур, и у ничего путного не вышло:
$x_{oros}(t)=C_{1}\cos(t\sqrt{\frac{k}{m}})+C_{2}\sin(t\sqrt{\frac{k}{m}})$
$x(t)=x_{oros}(t)+F/k$
$x(\tau)=C_{1}\cos(\tau\sqrt{\frac{k}{m}})+C_{2}\sin(\tau\sqrt{\frac{k}{m}})+F/k$
$\dot{x}(\tau)=\sqrt{\frac{k}{m}}(C_{2}\cos(\tau\sqrt{\frac{k}{m}})-C_{1}\sin(\tau\sqrt{\frac{k}{m}}))$
ЗСИ: $k(x(\tau))^2 + m(\dot{x}(\tau))^2=kA^2$
В итоге причёсывания получившейся формулы, получилось:
$A=\sqrt{\frac{F^2}{k^2}+2+\frac{4F}{k\sqrt{2}}\sin(2\tau\sqrt{\frac{k}{m}}+\frac{\pi}{4})}$
А вот как выглядит правильный:$A=\frac{2F}{k}\left\lvert\sin(\frac{\tau}{2}\sqrt{\frac{k}{m}})\right\rvert$

[StaticZero]

Kanaev, я не увидел, где вы использовали

Kanaev в сообщении #1496995 писал(а):

постоянную силу $F$, которая действовала в течение $\tau$ секунд

В виде дифференциальных уравнений (если хотите его придерживаться) функция $x(t)$ задаётся, как решение диффура с силой в промежутке $0 \leqslant t \leqslant \tau$ и как решение диффура с нулём в промежутке $\tau \leqslant t < \infty$. Диффуры второго порядка. Сшить.