Максимально возможная энергия вращения маховика

[Dedekind]

Помогите, пожалуйста, со следующей задачей.
Условие
В Википедии (https://ru.wikipedia.org/wiki/Маховик#Пример) приведено условие на предельную кинетическую энергию вращающегося маховика в виде цельного диска:

$$\dfrac{1}{2}I\omega^2 = \dfrac{V}{4}S_{max}$$

где $V$ - объем диска, а $S_{max}$ - предел прочности на разрыв (сила на единицу площади).
Я хочу проверить это утверждение. Мои попытки решения приводят к следующему.
Решение
Пусть диск имеет радиус $R$, его толщина $H$, а масса $M$. Плотность диска обозначим $\rho = \dfrac{M}{V}$
В системе отсчета, которая связана со вращающимся маховиком, на каждый элемент его массы $dm$ действует центробежная сила, равная

$$ dF = a(r)dm $$

где $a(r)$ - ускорение этого элемента (которое зависит от радиального расстояния от центра диска $r$ ). Из простых формул кинематики получаем, что $a(r) = r\omega^2$. Элемент массы также распишется в виде

$$ dm = \rho dV = \rho\cdot 2\pi r\cdot dr\cdot dh $$

где $dh$ это приращение в направлении толщины диска. Тогда, подставляя все это в выражение для силы и интегрируя по всему диску, получаем силу, разрывающую диск на уровне $r$

$$ F(r) = \dfrac{2}{3}\pi\omega^2 \rho H r^3 $$

Площадь поверхности на этом же уровне $r$

$$A = 2\pi rH$$

Тогда, получаем выражение для силы на единицу площади

$$S = \dfrac{F}{A} = \dfrac{2}{3}\rho r^2$$

Максимума это выражение будет достигать на границе диска. Поэтому, подставляя $r = R$ и выражая $\omega^2$, получаем

$$\omega^2 = \dfrac{3S_{max}}{\rho R^2}$$

Домножая на 1/2 и момент инерции диска $I = \dfrac12 MR^2$, получаем

$$\dfrac12I\omega^2 = \dfrac{3S_{max}M}{4\rho}$$

Наконец, заменяя плотность ее выражением, находим окончательно

$$\dfrac12I\omega^2 = \dfrac{3V}{4}S_{max}$$

Мой ответ получается в три раза больше. Подскажите, пожалуйста, где я допустил ошибку?

[Pphantom]

Dedekind в сообщении #1497007 писал(а):

Тогда, подставляя все это в выражение для силы и интегрируя по всему диску, получаем силу, разрывающую диск на уровне $r$

$$ F(r) = \dfrac{2}{3}\pi\omega^2 \rho H r^3 $$

Каков был смысл этого действия и как в результате интегрирования "по всему диску" в выражении сохранилась $r$?

Собственно, если вы присмотритесь, то обнаружите, что коэффициент $3$ "вылез" именно отсюда.

[Dedekind]

Pphantom
Да, неправильно выразился, не по всему диску, а в пределах от 0 до некоторого расстояния $r$ и от 0 до $H$. Смысл в том, чтобы найти силу, которая действует на уровне $r$. Без интегрирования я не понимаю, каким образом можно избавиться от дифференциала $dr$, который возникает в выражении для массы элемента.

[Pphantom]

Dedekind в сообщении #1497010 писал(а):

Смысл в том, чтобы найти силу, которая действует на уровне $r$.

Нет, это цель. А вот смысл вы пока не озвучили: почему это должно оказаться искомой силой?

[Dedekind]

Pphantom
Действительно, мне этот шаг тоже показался необоснованным. К сожалению, я не могу сообразить, как иначе избавиться от дифференциала $dr$, который возникает в выражении для массы элемента. Поэтому прошу помощи в этом вопросе: "Как найти центробежную силу, которая действует на уровне $r$?"

[Padawan]

Тут по-школьному не получится, наверное. Берите уравнения движения из механики сплошной среды википедия, записывайте в цилиндрической системе координат и решайте. Можно вывести: рассмотрим элемента объема $drd\varphi dz$. На его грани действуют такие-то силы. Приравниваете их сумму к записанной Вами центробежной силе. В пределе получаете дифференциальное уравнения на радиальную и угловую составляющую силы ($z$-составляющая равна нулю, очевидно) Вы в своих рассуждениях угловую составляющую напряжений никак не учитываете. И граничные условия. На краю диска нормальная составляющая напряжения равна нулю. А Вы как-будто исходите из того, что она будет максимальна. В центре диска она тоже равна нулю -- мне кажется, что так, но не уверен.

"На краю диска нормальная составляющая напряжения равна нулю." Что-то я и в этом засомневался.

[Padawan]

Кустарными методами, у меня получилось такое уравнение. Обозначим радиальную составляющую напряжения через $\sigma^r$ (то есть на площадку $\mathbf{e}_r dS$ действует сила $\sigma^r\mathbf e_rdS$), а угловую составляющую через $\sigma^{\varphi}$ (на площадку $\mathbf e_{\varphi} dS$ действует сила $\sigma^\varphi \mathbf e_\varphi dS$). Тогда $\sigma^r=\sigma^r(r)$, $\sigma^\varphi=\sigma^\varphi (r)$ (по соображениям симметрии) и

$$ \frac{d}{dr}(r\sigma^r)-\sigma^\varphi+r\cdot\rho r\omega^2=0, $$

В итоге одно уравнение, две функции, и с граничными условиями не понятно.

[DimaM]

Padawan в сообщении #1497021 писал(а):

В итоге одно уравнение, две функции, и с граничными условиями не понятно.

Наверно, можно еще закон Гука и компоненты тензора деформаций между собой связать.

[Padawan]

Да, видимо, без учёта характера малых деформаций задача статически неопределённая (как бревно на трех опорах).

И деформацию надо подбирать, видимо, исходя из минимизации потенциальной энергии деформированного диска. Жуть.

[AnatolyBa]

ЛЛ7, параграф 7, задача 5. Рассмотрен вращающийся цилиндр.
Там, правда, чтобы получить окончательно напряжения еще разбираться и разбираться.

[Pphantom]

Это вы как-то очень глубоко стали копать. На самом деле все проще.

Рассмотрим кусочек маховика, стягиваемый центральным углом $d\varphi$, в пределах от $r$ до $r+dr$ по радиусу. Если его тянет наружу центробежная сила, то в статическом состоянии ее должно что-то компенсировать, и это "что-то" - силы, действующие со стороны соседних по азимуту участков диска. Их сумма окажется равной $2 \, dr \, H \, S \sin \frac{d\varphi}{2}$, приравняем ее к центробежной силе $r \, d\varphi \, dr \, H \rho \, \omega^2 r$. После сокращения всего, что сокращается, останется $S = r^2 \rho \omega^2$. Отмечаем, что максимальное значение $S$ будет достигаться на краях маховика, т.е. $S_\text{max} = R^2 \rho \omega^2$, а отсюда

$$\frac{I \omega^2}{2} = \frac{M R^2 \omega^2}{4} = \frac{V \rho R^2 \omega^2}{4} = \frac{V S_\text{max}}{4}.$$

[DimaM]

Pphantom в сообщении #1497054 писал(а):

это "что-то" - силы, действующие со стороны соседних по азимуту участков диска

Это вы довольно произвольно положили в уравнении Padawan $\sigma^r=0$. То есть представили диск в виде совокупности не взаимодействующих друг с другом тонких колец.
По-моему, делать так не вполне корректно.

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1497056 писал(а):

Это вы довольно произвольно положили в уравнении Padawan $\sigma^r=0$.

Вообще говоря, да.

DimaM в сообщении #1497056 писал(а):

По-моему, делать так не вполне корректно.

Это неплохое приближение, которое, насколько я понимаю, исходно обосновывали просто экспериментально. Но результат, который проверяет ТС, получался именно таким путем.

[DimaM]

Pphantom в сообщении #1497057 писал(а):

Это неплохое приближение, которое, насколько я понимаю, исходно обосновывали просто экспериментально.

Странно выглядит.
При вращении кольца растягиваются, следовательно, увеличивают свой радиус. Радиальные напряжения просто не могут не возникнуть.
Заодно видно, что если массу маховика сосредоточить в основном на ободе, предельную энергию можно увеличить, в пределе вдвое.

[Dedekind]

Pphantom
Большое спасибо! Весь вечер штудировал ЛЛ7, но о таком простом варианте даже не подумал. Теперь слова из источника "Нетрудно показать..." действительно обретают смысл :)

DimaM в сообщении #1497060 писал(а):

Заодно видно, что если массу маховика сосредоточить в основном на ободе, предельную энергию можно увеличить, в пределе вдвое.

Так это же и так видно, даже при упрощенном подходе Pphantom, разве нет? Просто положить $I = MR^2$ для обода, вместо $I = 0.5MR^2$ для диска.

Еще раз большое спасибо всем отписавшимся, Padawan, AnatolyBa когда-нибудь, надеюсь, смогу осилить и полностью строгий подход :)