Метод математической индукции

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
То, что вы нашли не имеет никакого отношения к вычислению искомой суммы.
Ок, подсказка $\frac {1}{2\cdot 3}=\frac {1}{2}-\frac {1}{3}$, далее постарайтесь продолжите сами.
Это не относится к доказательству по индукции, но просто еще один способ вычислить эту сумму, причем более прозрачный и понятный, чем сначала гипотеза, а потом индукция. (Это не значит, что метод индукции плох, просто в данном случае есть и более простой способ. И всегда полезно пытаться найти еще один способ что-то найти или доказать.)

Vladimir Pliassov в сообщении #1496822 писал(а):

Это не значит, что я не понимаю доказательства в учебнике, но я его понял с помощью подстановки.

А разве не проще все понять благодаря тому, что в цепочке $S_1, S_2, S_3... , S_k, S_{k+1}$ каждая следующая сумма больше чем предыдущая на последнее слагаемое?

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1496817 писал(а):

Тут вполне естественно уточнить.

Да сами по себе уточнения это конечно не проблема. Мой пойнт был в том, что в ответе ТС было только про это, но это уточнение было очевидно и нужно было увидеть, что суть не в нем.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1496828 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1496822 писал(а):

Это не значит, что я не понимаю доказательства в учебнике, но я его понял с помощью подстановки.

А разве не проще все понять благодаря тому, что в цепочке $S_1, S_2, S_3... , S_k, S_{k+1}$ каждая следующая сумма больше чем предыдущая на последнее слагаемое?

Это я тоже понимаю, но этот принцип частный, годится только для этой задачи, а подстановка $k+1$ вместо $n$ это, как мне представляется, общий принцип для всех доказательств по индукции (где доказывается, что, если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$).

[Odysseus]

Конечно же всегда в индукции делается подстановка $k+1$ вместо $n$. Это очевидное правило, все его знают и используют, и это основа всех доказательств по индукции. В том, что я писал выше - делается то же самое. Просто вы при этом автоматически и длинно записывали сумму для разных $k$, но нужно было посмотреть на ее структуру и постараться увидеть что в данном случае при этом происходит. Тогда все было бы намного короче и понятнее как вам, так и тем кто вас читает.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1496828 писал(а):

Ок, подсказка $\frac {1}{2\cdot 3}=\frac {1}{2}-\frac {1}{3}$

Теперь, я думаю, догадался:

$$\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\frac {1}{4\cdot 5}+\frac {1}{5\cdot 6}+\cdots=$$

$$=\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+\frac {1}{4}-\frac {1}{5}+\frac {1}{5}-\frac {1}{6}+\cdots,$$

$$S_n=\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{n+1}=1-\frac {1}{n+1}.$$

-- 16.12.2020, 23:29 --

Odysseus в сообщении #1496852 писал(а):

автоматически и длинно записывали сумму для разных $k$, но нужно было посмотреть на ее структуру и постараться увидеть что в данном случае при этом происходит.

А, может быть, не надо смотреть на структуру доказываемого объекта, а просто подставить $k+1$ вместо $n$?

Может быть, это универсальный способ?

[Odysseus]

Окончательный ответ правильный, но лучше было бы сделать чуть логичнее и аккуратнее:

1) Логичнее. Первое слагаемое представить в том же виде, как и все остальные. Неважно, что оно равно $\frac {1}{2}$. Нужно соблюдать общую логику преобразований всех членов суммы, т.е. представлять его как $\frac {1}{1}-\frac {1}{2}$. Тогда второй член в этой группе сокращается с первым членом в последующей $\frac {1}{2}-\frac {1}{3}$, аналогично как и везде. Это логичнее, чем в начале иметь суммирование $\frac {1}{2}+\frac {1}{2}$, что не соответствует логике сокращений далее.

2) Аккуратнее. У этой суммы конечное число слагаемых. В таких случаях не принято обрывать ее многоточием, нужно указывать и последние значащие члены.

В итоге получится так:

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)}=$$

$$=\frac {1}{1}-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}+\frac {1}{4}-\frac {1}{5}+\frac {1}{5}-\frac {1}{6}+\cdots+\frac {1}{n}-\frac {1}{n+1}=$$

$$=1-\frac {1}{n+1}=\frac {n}{n+1}$$

[Vladimir Pliassov]

Спасибо, понял.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496855 писал(а):

А, может быть, не надо смотреть на структуру доказываемого объекта, а просто подставить $k+1$ вместо $n$?

Может быть, это универсальный способ?

Конечно это универсальный способ, это очевидно, и я же это уже подтвердил. Но суть в том, что в данном случае при подстановке $k+1$ вместо $n$ можно без всякий вычислений увидеть, что в цепочке $S_1, S_2, S_3... , S_k, S_{k+1}$ каждая следующая сумма больше чем предыдущая на последнее слагаемое. А значит 1) доказательство становится короче и проще, 2) вы узнаете еще одну идею, которая может проявлять себя и в других случаях.

Т.е. дело не в том, чтобы не использовать "универсальный способ". Его просто нельзя не использовать, и он всегда используется в доказательствах по индукции, и он конечно используется и здесь. Дело в том, чтобы увидеть когда из него следуют некие простые заключения, а также узнавать при этом что-то в дополнение к нему. К последнему нужно особенно стремиться во всех доказательствах. Нужно извлекать из них не только вывод данного утверждения, но и новые идеи и структуры на будущее.

[Vladimir Pliassov]

Под универсальностью способа я полагал, что он настолько универсален, что даже и гипотезу не нужно выдвигать - сразу получается, чему равна, например сумма $S_n$ при $n=k$, но сейчас посмотрел и увидел, что вместо

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)}$$

получаем

$$S_k=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac {1}{k(k+1)},$$

то есть кроме того, что поменяли букву, ни на сколько не продвинулись.

Я думаю, заключение будет такое: можно и так, и так, но лучше уметь и так, и так, чем только так или только так.

-- 17.12.2020, 01:06 --

kotenok gav в сообщении #1496788 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1496783 писал(а):

там несколько другой подход

Нет.

Конечно, принцип один и тот же, но выполняется по-другому, то есть различие непринципиальное, но оно есть. Неужели и с этим Вы не согласны?

[Odysseus]

Как это не нужно выдвигать гипотезу? А как же вы доказывали данное утверждение?

И для вас в самом деле было сюрпризом, что при замене $n$ на $k$ ничего не поменяется? И разве вы не знаете, что математическая индукция состоит не в этой тавтологической замене, а в сравнении что будет при $n=k$ (верном по предположению индукции) и $n=k+1$?

[Vladimir Pliassov]

Я же только вчера начал читать о математической индукции (кстати, по рекомендации Калужнина, которого, в свою очередь рекомендовали Вы), хотя слышал о ней много хорошего.

[Odysseus]

Прочитать о чем-то только вчера это нестрашно. Но вы при этом начинаете что-то придумывать, доказывать и спорить о том, что вы еще совсем не знаете и не понимаете. Вам не кажется, что это странно и не очень логично? А еще важнее, что это непродуктивно, в первую очередь для вас.

Музыке же вы научились не за один день? И не считали же после первого дня, что открыли то, что уже давно не знают те, кто занимается этим много лет?

В целом
- Ни на этом, ни на любом другом форуме, нельзя что-то нормально изучить и понять с нуля.
- В лучшем случаете, это будет на очень поверхностном уровне, и при этом вы потратите слишком много времени впустую.
- Как минимум, нужно знать определения того, о чем вы пишите иначе большинство слов и рассуждений вам будут непонятны. Базой при этом должны быть учебники с определениями, теоремами, доказательствами, примерами, задачами.
- Потратить на обучение чему-то новому нужно явно больше, чем 1-2 дня. Если что-то при этом непонятно - спрашивайте и вам объяснят. Попытки до этого придумать что-то с нуля и доказать это другим вряд ли будут успешными и полезными.

[kotenok gav]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496877 писал(а):

Неужели и с этим Вы не согласны?

Не согласен.

-- 17 дек 2020, 14:44 --

Вы просто расписали равенство с помощью определения и зачем-то говорите, что это другое, нежели само равенство.

[bot]

Когда я познакомился с индукцией, меня надолго озадачили эти танцы с бубнами около $n=k$ и $n=k+1$. Пообщавшись с ней родимой я, наконец, представил себе модель Пеано лестницу со ступенями. Если я могу встать на первую ступеньку и с каждой перебраться на следующую, то для меня стало очевидно, что я могу залезть на любую ступеньку. Индуктивный переход таким образом нужно делать от любого к следующему, обозначения не играют никакой роли, к примеру, иногда удобно $n\to n+1$, а другой раз $n-1\to n$. Необходимости в ентих $n=k$ и $n=k+1$ нет и не было, просто кому-то показалось это удобным для понимания или, скорее, для втолковывания тем, кто вникнуть в суть не хочет или не может.
Освободиться от этой отвлекающей мишуры мне помогла привычка к словесным формулировкам, которые нас заставляли зубрить в школе - примером может служить озвучивание формулы корней квадратного уравнения со старшим коэффициентом 1.
Вот она: Половина второго коэффициента, взятого с обратным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этой половины без свободного члена. И никаких дискриминантов.

[Vladimir Pliassov]

bot в сообщении #1496926 писал(а):

Если я могу встать на первую ступеньку и с каждой перебраться на следующую, то ... я могу залезть на любую ступеньку. Индуктивный переход таким образом нужно делать от любого к следующему, обозначения не играют никакой роли

Я как раз хотел поговорить об обозначениях - они ведь все равно употребляются.

Если имеется конечная последовательность

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)},$$

то имеется в виду, что $n$ это номер последнего члена последовательности, поэтому, например, запись $S_{n+1}$ или $\sum\limits_{i=1}^{n+1}\frac{1}{i(i + 1)}$ в этом контексте употребляться не может (поскольку $n$ это последний номер, номера $n+1$ быть не может).

Если сказано, что $n$ может принимать некоторые натуральные значения, например, $k$ или $k+1$, то может употребляться запись $S_{k+1}$ или $\sum\limits_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i(i + 1)}$.

Таким образом, $n$ может употребляться только для обозначения номера последнего члена, $k\,\,-$ для обозначения произвольного натурального числа, $i$ в записи $\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{1}{i(i + 1)}$ употребляется для обозначения произвольного натурального числа от $1$ до $k$, а в записи $\sum\limits_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i(i + 1)}\,\,-$ для обозначения произвольного натурального числа от $1$ до $k+1$.

Правильно ли я понимаю?

[Aritaborian]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496970 писал(а):

Если имеется конечная последовательность $S_n$

Это не последовательность. Это число. Сумма, зависящая от $n$. Функция от $n$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496970 писал(а):

поскольку $n$ это последний номер, номера $n+1$ быть не может

Может.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496970 писал(а):

Таким образом, $n$ может употребляться только для обозначения номера последнего члена, $k\,\,-$ для обозначения произвольного натурального числа

Не-не-не, это вам что-то странное мерещится.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496970 писал(а):

$i$ в записи $\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{1}{i(i + 1)}$ употребляется для обозначения произвольного натурального числа от $1$ до $k$

Всех чисел в этом промежутке, взятых по одному разу.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496970 писал(а):

а в записи $\sum\limits_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i(i + 1)}\,\,-$ для обозначения произвольного натурального числа от $1$ до $k+1$

Аналогично.