Метод математической индукции

[Vladimir Pliassov]

В "Методе математической индукции" И. С. Соминского, стр.11-12,
https://www.mathedu.ru/text/sominskiy_m ... _1974/p11/

разбирается Пример 9: вычислить сумму

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)}.$$

Выдвигается гипотеза, что $S_n=\frac {n}{n+1}$ при всяком натуральном $n$.

Цитата:

Т е о р е м а ${}$ 1. Для $n=1$ гипотеза верна, так как $S_1=\frac {1}{2}.$

Т е о р е м а ${}$ 2. Предположим, что гипотеза верна для $n=k$, т. е. что

$$S_k=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac {1}{k(k+1)}=\frac {k}{k+1},$$

где $$k - \,\,$ некоторое натуральное число. Докажем, что тогда гипотеза обязана быть верной и для $n=k+1,$ т.е. что

$$S_{k+1}=\frac {k+1}{k+2}.$$

Действительно ...

С этого момента, разумеется, можно доказывать дальше так, как в цитируемом учебнике, однако можно сделать это по-другому, более непосредственно и, как мне кажется, проще для понимания.

Из слов "предположим, что гипотеза верна для $n=k$" и "докажем, что тогда гипотеза обязана быть верной и для $n=k+1,$" непосредственно следует, что в некоторые выражения, содержащие $n$, вместо $n$ можно подставить $k$ или $k+1$.

В первом случае в учебнике так и делается: вместо

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)}$$

берется

$$S_k=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac {1}{k(k+1)}.$$

Что касается второго случая, то тут можно взять из условия примера выражение

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)},$$

выписать в нем предпоследний член -- при этом получим

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{(n-1)[(n-1)+1]}+\frac {1}{n(n+1)}, -$$

и затем просто (не думая, как говорится, тупо) подставить в полученное выражение $k+1$ вместо $n$. Получим

$$S_{k+1}=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac {1}{[(k+1)-1]\{[(k+1)-1]+1\}}+\frac {1}{(k+1)[(k+1)+1]}=$$

$$=[\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac {1}{k(k+1)}]+\frac {1}{(k+1)(k+2)}.$$

Видим, что последнее выражение в квадратных скобках равно $S_k=\frac {k}{k+1}$ из гипотезы, и дальше продолжаем, как в учебнике.

[kotenok gav]

Вы просто подробно расписали $S_{k+1}=S_k+\dfrac1{(k+1)(k+2)}$.

[Vladimir Pliassov]

Да, но при помощи простой подстановки в формулу значений $n$. Мне, например, такой способ кажется более очевидным.

[kotenok gav]

А есть другой способ?

[Vladimir Pliassov]

Я имею в виду способ, когда в формулу

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{(n-1)[(n-1)+1]}+\frac {1}{n(n+1)}, $$

содержащую $n$, вместо $n$ подставляется его значение $k+1$. В учебнике этой формулы нет, там несколько другой подход, который годится для сообразительных людей.

[mihaild]

По-моему заметить в этой формуле, что $S_{n + 1} = S_n + \frac{1}{n(n + 1)}$, гораздо проще, чем понять, что вы делаете.
Если хочется формально, то нужно определить: $S_n = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{i(i + 1)}$. И из этого уже получается $S_{n + 1} = \sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{i(i + 1)} = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{i(i + 1)} + \frac{1}{n(n + 1)} = S_n + \frac{1}{n(n+1)}$.

[kotenok gav]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496783 писал(а):

там несколько другой подход

Нет.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496780 писал(а):

Да, но при помощи простой подстановки в формулу значений $n$. Мне, например, такой способ кажется более очевидным.

К сожалению, здесь пока нет доказательства того, что гипотеза верна не только для $n=k$, но и для $n=k+1$.

Например, можно также взять

$$S_n=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{\text{$n$ слагаемых}}$$

и вашим способом подстановки "доказать", что $S_n=\frac 1n$. Попробуйте, у Вас получится.

-- Ср дек 16, 2020 19:18:45 --

Или я чего-то в ваших рассуждениях не понял?

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Вы из простого делаете сложное. Ведь очевидно же, что в цепочке $S_1, S_2, S_3... , S_k, S_{k+1}$ каждая следующая сумма больше чем предыдущая на последнее слагаемое в этой сумме. А поскольку последним слагаемым в $S_{k+1}$ является $\dfrac1{(k+1)(k+2)}$, то $S_{k+1}=S_k+\dfrac1{(k+1)(k+2)}$ (и, как вы в конце написали, далее как в учебнике). Это намного понятнее и короче того, что вы написали.

А вот так

Vladimir Pliassov в сообщении #1496769 писал(а):

и затем просто (не думая, как говорится, тупо)

делать никогда не рекомендую. Цель при доказательствах должна быть не просто доказать что нечто является верным, а как раз думать и понимать "почему" это верно, т.е. стараться все упрощать до очевидных и интуитивно ясных вещей и образов, которые вы хорошо запомните и которые соединятся с другими понятиями, доказательствами и образами у вас в голове. Так каждое новое понятие или доказательство будет повышать ваш общий математический и интеллектуальный уровень. Просто что-то "тупо посчитать" для этого будет полностью бесполезно.

Кстати, эту сумму можно легко посчитать сразу для $S_n$ без каких-либо гипотез и индукции. Догадаетесь как?

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1496789 писал(а):

К сожалению, здесь пока нет доказательства того, что гипотеза верна не только для $n=k$, но и для $n=k+1$.

Я и не приводил полного доказательства:

Vladimir Pliassov в сообщении #1496769 писал(а):

Видим, что последнее выражение в квадратных скобках равно $S_k=\frac {k}{k+1}$ из гипотезы, и дальше продолжаем, как в учебнике.

-- 16.12.2020, 20:41 --

mihaild в сообщении #1496787 писал(а):

гораздо проще, чем понять, что вы делаете.

Я просто выписал в формуле

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)}$$

предпоследний член:

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{(n-1)[(n-1)+1]}+\frac {1}{n(n+1)}, - $$

и заменил в ней $n$ на $k+1$. При этом у меня получилось то же самое, что в учебнике:

$$S_{k+1}=S_k+\frac {1}{(k+1)(k+2)}.$$

-- 16.12.2020, 20:54 --

mihaild в сообщении #1496787 писал(а):

По-моему заметить в этой формуле, что $S_{n + 1} = S_n + \frac{1}{n(n + 1)}$

$S_{n + 1} = S_n + \frac{1}{(n + 1)(n+2)}$; разве нет?

-- 16.12.2020, 21:01 --

mihaild в сообщении #1496787 писал(а):

Если хочется формально, то нужно определить: $S_n = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{i(i + 1)}$. И из этого уже получается $S_{n + 1} = \sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{i(i + 1)} = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{i(i + 1)} + \frac{1}{n(n + 1)} = S_n + \frac{1}{n(n+1)}$.

Там не совсем так:

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)}.$$

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496795 писал(а):

разве нет?

Vladimir Pliassov в сообщении #1496795 писал(а):

Там не совсем так

Как и в вашей предыдущей теме, вы опять фокусируетесь не на том, что нужно. Очевидно же, что в этом ответе была просто случайная описка. Она совершенно не влияет на суть того, что вам отвечали.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496795 писал(а):

$S_{n + 1} = S_n + \frac{1}{(n + 1)(n+2)}$; разве нет?

Да, так. Ну и ниже соответственно тоже чуть иначе должно быть.

Odysseus в сообщении #1496815 писал(а):

Очевидно же, что в этом ответе была просто случайная описка. Она совершенно не влияет на суть того, что вам отвечали

Ну не совсем случайная (я неправильно запомнил, до какого члена суммирование, и дальше это пошло). Тут вполне естественно уточнить.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496795 писал(а):

Я просто выписал в формуле

Этим вы по сути показали, что $S_n = S_{n - 1} + \frac{1}{n(n + 1)}$. Это примерно то же самое. Подстановка тут, конечно, ничему не противоречит, но и не помогает.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1496791 писал(а):

Кстати, эту сумму можно легко посчитать сразу для $S_n$ без каких-либо гипотез и индукции. Догадаетесь как?

Сам не догадался, но нашел по интернету, что это будет

$$(1+2+3+4+5+6+\cdots)+(1^2+ 2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+\cdots),$$

но как это "легко посчитать сразу" и вовсе не догадываюсь, и там многие считали и всегда нелегкими способами.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496819 писал(а):

Сам не догадался, но нашел по интернету

Это вы что-то очень странное нашли. До какого слагаемого в скобках сумма?
И в любом случае, все наши суммы ограничены единицей, а в найденном вами все слагаемые положительны, и уже второе больше $1$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1496817 писал(а):

Подстановка тут, конечно, ничему не противоречит, но и не помогает.

Вы, может быть, не поверите, но мне помогает. Это не значит, что я не понимаю доказательства в учебнике, но я его понял с помощью подстановки.

-- 16.12.2020, 21:53 --

mihaild в сообщении #1496820 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1496819 писал(а):

Сам не догадался, но нашел по интернету

Это вы что-то очень странное нашли.

Пардон, я имел в виду, что если соответствующим образом взять по одному числу оттуда и оттуда и сложить их попарно: $1+1^2;\,\, 2+2^2$ и т.д., то это будут знаменатели, а в числителях единица.