Черный ящик с полиномом внутри

[Legioner93]

arseniiv в сообщении #1496628 писал(а):

неплохо как-то сделать точной в том смысле, что именно она находит при каком способе определения совпадения

arseniiv
Процедура находит многочлен до $o(x^n)$

В ящике вообще быть не многочлен, а синус (нас обманули), так что мы просто выписываем Тейлора

-- Вт дек 15, 2020 21:39:21 --

Правда для этого придётся давать специфические иксы

[Someone]

Последовательность интерполяционных многочленов вообще не обязана к чему-нибудь сходиться.

[TOTAL]

(Оффтоп)

Есть надёжный способ узнать, что внутри этого противного черного ящика. Вскрыть его!

[Утундрий]

Что если идти по фундаментальной последовательности?

[Евгений Машеров]

Ну, у меня взгляд грубо-эмпирический и сугубо прикладной. Как я уже имел честь докладывать - полного теоретического решения тут и нет, для любого набора пробных точек $x_1\cdots x_n$ можно построить полином $(x-x_1)\cdots\ (x-x_n)G(x)$, где $G(x)$ полином сколь угодно высокой степени, прибавить его к найденному и заявлять, что правильной этот, "его высокостепенство".
А практическое - используем рандомизированные пробные точки, находим полином, берём ещё одну и проверяем совпадение. Оценка погрешности прогноза для данной точки делается через оценку погрешности обращения матрицы, зная машинную ошибку. Если отклонение выше оценки погрешности (скажем, утроенной, по аналогии с "три сигма") - добавляем степень полиному, и проверяем на новой точке опять. Если ниже - оцениваем вероятность случайного попадания (скажем, есть у нас найденные по расчётным точкам максимальное и минимальное значение полинома, и вероятность принимаем, как частное от деления интервала допуска на размах значений функции. Если она меньше, скажем, одной миллионной, полагаем, что "наконец нашли!", если больше - повторяем пробу с новым значением, перемножая вероятности, пока не дойдём до порогового значения.

[upgrade]

Евгений Машеров в сообщении #1496408 писал(а):

Для любой наперёд заданной последовательности входных значений мощности N можно построить полином степени $M\ge N$ такой, что его значения на этих входных значениях совпадут со значениями некоторого полинома степени $n<N$ (или ещё проще - все будут нули).

Это для одной последовательности или для любого их количества?
Например, подаем последовательность $1,2,3,...$ получаем какой-то поллином из выходных данных, затем подаем $\sin(1), \sin(2), \sin(3),...$ - должны получить
$\sin$ от полученного в первом случае, затем $(1)',(2)',...$ - получаем производную от полученного в первом случае полинома, которая опять должна совпасть и так далее - "действуем" на черный ящик разными формами сигнала.

[Евгений Машеров]

Ну так делать последовательность из n точек, затем из синусов этих точек, затем из, скажем, косинусов - это последовательность из $3n$ точек. Одна. Наперёд заданная.

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1497030 писал(а):

затем подаем $\sin(1), \sin(2), \sin(3),...$ - должны получить
$\sin$ от полученного в первом случае

$P(\sin x)\not\equiv\sin P(x)$.

upgrade в сообщении #1497030 писал(а):

затем $(1)',(2)',...$

Что это за числа такие? На вход подаются числа, на выходе тоже числа.

-- Пт дек 18, 2020 22:53:10 --

Хотя надо признать, что эти бессмысленные $(1)'$ наводят на идею. Можно попробовать решать другую задачу, где на вход подаются например дуальные числа. Это действительно даст нам значения производной: $P(a + b\varepsilon) = P(a) + b P'(a)\varepsilon$. Но толку всё равно не будет, даже если попробовать применить нильпотенты хоть всех порядков сразу, а не только второго; эта идея интересна просто потому что напоминает, что многочлены бывают над разными кольцами и многочлены над $R$ вкладываются в многочлены над $R$-алгеброй.

[upgrade]

arseniiv в сообщении #1497106 писал(а):

Что это за числа такие?

Хотел сперва так записать $(2-1)',(3-2)',...$
Исходя из того, что степень понижается, если взять производную, то если после $n$-й производной получаем нули, значит степень $n-1$.

[Евгений Машеров]

upgrade в сообщении #1497150 писал(а):

Хотел сперва так записать $(2-1)',(3-2)',...$

Ге-ни-аль-но!...

[upgrade]

Евгений Машеров в сообщении #1497151 писал(а):

Ге-ни-аль-но!...

Вот-вот