Замыкание множества

[Norma]

Мне хочется доказать, что если для любого элемента пространства $X$ найдётся сходящаяся к нему последовательность элементов множества $M$, то множество $M$ всюду плотно в пространстве $X$ и замыкание множества $M$ даёт всё пространство.

По определению множество $M$ всюду плотно в метрическом пространстве, если его замыкание совпадает со всем пространством. Замыкание $M$ - это множество $M$ и все его предельные точки. Мы знаем, что если точка $x_0$ - предельная для $M$, то существует последовательность $x_n$ из $M$, сходящаяся к $x_0$. Так как для любой точки $x$ из $X$ существует последовательность точек в $M$, сходящаяся к $x$, то произвольная точка $x$ из $X$ лежит и в замыкании $M$. Значит, $X$ - подмножество замыкания $M$. Но они совпадают, так как изначально $M$ - подмножество $X$?

[Mikhail_K]

В принципе, тут всё элементарно и каким-то серьёзным ошибкам просто неоткуда взяться. Но если хочется деталей...

Norma в сообщении #1496550 писал(а):

Так как для любой точки $x$ из $X$ существует последовательность точек в $M$, сходящаяся к $x$, то произвольная точка $x$ из $X$ лежит и в замыкании $M$.

Напишите подробнее этот вывод, откуда Вы его сделали. Мне немного не нравится, как сказанное здесь стыкуется с предыдущим предложением.

[Norma]

Mikhail_K
Берем произвольный элемент $x$ множества $X$, мы знаем(исходя из условия), что во множестве $M$ существует последовательность, которая сходится к этому элементу $x$. Этот элемент $x$ является предельной точкой для множества $M$(по определению). Поэтому любой элемент множества $X$ лежит и в замыкании множества $M$. Это означает, что множество $X$ является подмножеством замыкания $M$

[Mikhail_K]

Norma в сообщении #1496565 писал(а):

Этот элемент $x$ является предельной точкой для множества $M$(по определению)

По какому определению? Напишите его.

[Norma]

Mikhail_K
Существует последовательность элементов, сходящаяся к $M$.

[Mikhail_K]

Norma в сообщении #1496575 писал(а):

Существует последовательность элементов, сходящаяся к $M$.

Откуда Вы взяли это определение? Строго говоря, оно не совсем такое.

[Norma]

Mikhail_K
Тогда такое определение: точка $x_0$- предельная для $M$, если для любого $\varepsilon>0$ шар с центром в точке $x_0$ радиуса $\varepsilon$ в пересечении с $M$ содержит бесконечно много точек.

[Mikhail_K]

Norma в сообщении #1496581 писал(а):

Тогда такое определение: точка $x_0$- предельная для $M$, если для любого $\varepsilon>0$ шар с центром в точке $x_0$ радиуса $\varepsilon$ в пересечении с $M$ содержит бесконечно много точек.

Хорошо, попробуйте использовать его.

[Norma]

Mikhail_K
Берем точку $x$ из $X$. Шар с центром в точке $x$ в пересечении со множеством $M$ содержит бесконечно много точек, так как к этому элементу сходится последовательность. Значит $x$ - предельная точка для $M$. И значит опять $X$ лежит в замыкании $M$

[Mikhail_K]

Norma в сообщении #1496645 писал(а):

Шар с центром в точке $x$ в пересечении со множеством $M$ содержит бесконечно много точек, так как к этому элементу сходится последовательность

Это утверждение неверно, вообще говоря. Подумайте, почему.

[Someone]

Norma, в связи с вопросом Mikhail_K я хотел бы обратить ваше внимание на то, что понятия "элемент множества" и "член последовательности" существенно отличаются друг от друга.

[Norma]

Someone
Разве члены последовательности не являются элементами множества?

-- 16.12.2020, 00:48 --

Mikhail_K
Не могу сходу сказать, почему так

[mihaild]

Norma в сообщении #1496662 писал(а):

Разве члены последовательности не являются элементами множества?

Пусть $x \in X$, и у нас есть последовательность $x_n, x_n \in M$, такая что $x_n \to x$. Как вы из этой последовательности хотите сделать бесконечное множество точек из $M$, лежащих в шаре радиуса $1$ с центром в $x$?

[Norma]

mihaild
Для любого $n>N$ выполнено $d(x, x_n)<\varepsilon$, положим $\varepsilon=1$

[mihaild]

Norma в сообщении #1496703 писал(а):

Для любого $n>N$ выполнено $d(x, x_n)<\varepsilon$, положим $\varepsilon=1$

А множество-то какое?