Найти КПД цикла -политропа, изобара, изохора.

[Kevsh]

Идеальный двухатомный газ совершает прямой цикл, состоящий из изобарного, изохорного и политропоного процессов. Показатель политропы равен $n$. Работа в политропном процессе отрицательная и $-1 < n < 0$. Отношение $\frac {p_1}{p_2} = k$. Найти КПД цикла.
Я решил эту задачу, но КПД получается неверным. Вроде уже 20 раз все перепроверил, но ошибку найти не могу.
Цикл выглядит так: процесс 1-2 это изобара, тепло подводится; процесс 2-3 это политропа, тепло отводится; процесс 3-1 это изохора, тепло подводится. Соответственно, КПД можем рассчитать по формуле $\eta = 1 + \frac{Q_{23}}{Q_{31} + Q_{12}}$. При этом $Q_{23} = c(T_3 - T_2)$ ($c$ можем узнать через показатель политропы); $Q_{31} = \frac{i}{2}\nu R(T_1 - T_3); $ $Q_{12} = \frac{i}{2}p_1(V_2-V_1) + p_1(V_2-V_1) = p_1(V_2-V_1)(\frac{i + 2}{2})$. Распишем уравнение состояние идеального газа во всех точках:
$p_1V_1 = \nu RT_1$, $p_1V_2 = \nu RT_2$, $p_2V_1 = \nu RT_3$, отсюда выразим $T_1 - T_3 = \frac{V_1(p_1-p_2)}{\nu R}$, а также $T_3 - T_2 = \frac{p_2V_1 - p_1V_2}{\nu R}$. Нужно помнить, что по условию $p_1 = kp_2$. Также распишем уравнение политропного процесса для участка 2-3: $p_1V_2^n = p_2V_1^n$, отсюда $V_2 = V_1\sqrt[n]{\frac{1}{k}}$. Вот и все, теперь подставим все это дело в нашу формулу КПД: $\eta =1 + \frac{p_2V_1(1 - \sqrt[n]{\frac{1}{k}})}{\frac{i}{2}p_2V_1(k - 1) + kp_2V_1(\frac{i + 2}{2})(\sqrt[n]{\frac{1}{k}} - 1)}$, сокращаем все на $p_2V_1$ и получаем конечную формулу: $\eta =1 + \frac{1 - \sqrt[n]{\frac{p_2}{p_1}}}{\frac{i}{2}(k - 1) + k(\frac{i + 2}{2})(\sqrt[n]{\frac{1}{k}} - 1)}$. Где здесь может быть ошибка? Я же правильно понимаю, что если работа в политропном процессе с таким показателем политропы отрицательна, то тепло отводится?

[StaticZero]

Kevsh в сообщении #1496617 писал(а):

$p_1V_2^n = p_2V_1^n$

???

[Kevsh]

StaticZero в сообщении #1496618 писал(а):

Kevsh в сообщении #1496617 писал(а):

$p_1V_2^n = p_2V_1^n$

???

Вроде делал все, как и раньше. Беру начало политропы, пишу для него $pV$, приравниваю к $pV$ в конце политропы, так как $pV^n = \operatorname{const}$. Точка 2 это начало политропы и конец изобары, там максимальное давление $p_1$, а объем в это точке тоже максимальный, $V_2$. Точка 3 это конец политропы и начально изохоры, там давление минимальное, $p_2$, объем тоже минимальный, $V_1$. Таким образом у меня получается $p_1V_2^n = p_2V_1^n$. Не очень понимаю, где тут ошибка. https://drive.google.com/file/d/1mbACxH3gIVcmn0m5kLfM7GTr0IdYej9L/view?usp=sharing. По ссылке мой чертеж, я просто не очень понимаю, как тут прикрепить фото.

[Kevsh]

Немного ошибся в записи числителя, забыл теплоемкость и газовую постоянную, но суть дела это не меняет.

$\eta =1 + \frac{c \frac{(1 - \sqrt[n]{\frac{p_2}{p_1}})}{R}}{\frac{i}{2}(k - 1) + k(\frac{i + 2}{2})(\sqrt[n]{\frac{1}{k}} - 1)}$.

[EUgeneUS]

Kevsh
1. Вас не смущает, что КПД у Вас больше единицы?
2. Не сложно будет нарисовать цикл (со стрелочками) на PV-диаграмме?

-- 15.12.2020, 23:06 --

UPD: рисунки размещаются через тег

[img]..[/img]

.
Но предварительно рисунок нужно загрузить на хостинг картинок со свободным доступом. Многие хостинги после загрузки картинки сразу формируют BB-коды для размещения на форумах.

[Kevsh]

EUgeneUS в сообщении #1496654 писал(а):

Kevsh
1. Вас не смущает, что КПД у Вас больше единицы?

Конечно смущает, но я не могу найти тут ошибку.

EUgeneUS в сообщении #1496654 писал(а):

Kevsh
2. Не сложно будет нарисовать цикл (со стрелочками) на PV-диаграмме?

Я вставлял данную ссылку в тег Img, но у меня высвечивается сообщение, мол, не удалось определить размеры изображения.
https://drive.google.com/file/d/1mbACxH3gIVcmn0m5kLfM7GTr0IdYej9L/view?usp=sharing

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1496659 писал(а):

Я вставлял данную ссылку в тег Img, но у меня высвечивается сообщение, мол, не удалось определить размеры изображения.

Значит не подходит гугл-драйв. Вот таким можно воспользоваться: https://imgbb.com/

Kevsh в сообщении #1496659 писал(а):

Конечно смущает, но я не могу найти тут ошибку.

Так сразу же. Как и из чего получилось это:

Kevsh в сообщении #1496617 писал(а):

Соответственно, КПД можем рассчитать по формуле $\eta = 1 + \frac{Q_{23}}{Q_{31} + Q_{12}}$.

Рисунок я посмотрел. Политропу Вы верно нарисовали для заданных показателей. И направление обхода политропы верное.
А вот остальное - нет. У вас получается изобара-политропа-изохора. А Вам задано: изобара-изохора-политропа.

-- 16.12.2020, 01:02 --

Впрочем, Вы же теплоту считаете "со знаком" и $Q_{23} < 0$

Поэтому вот это:

EUgeneUS в сообщении #1496660 писал(а):

Так сразу же. Как и из чего получилось это:
Kevsh в сообщении #1496617

писал(а):
Соответственно, КПД можем рассчитать по формуле $\eta = 1 + \frac{Q_{23}}{Q_{31} + Q_{12}}$.

снимается, конечно.

[EUgeneUS]

UPD2

В знаменателе у меня также. С учетом, что $n<0$, оба слагаемых положительны.
В числителе, у меня чуть по другому (мог ошибиться где-то в преобразованиях). Но в обоих вариантах (в Вашем тоже) числитель получается отрицательным, как и полагается.

[kotenok gav]

(Оффтоп)

Kevsh в сообщении #1496659 писал(а):

Я вставлял данную ссылку в тег Img, но у меня высвечивается сообщение, мол, не удалось определить размеры изображения.
https://drive.google.com/file/d/1mbACxH ... sp=sharing

Так это же ссылка на страницу, содержащую изображение, а не на само изображение...

[Kevsh]

EUgeneUS в сообщении #1496667 писал(а):

UPD2

В знаменателе у меня также. С учетом, что $n<0$, оба слагаемых положительны.
В числителе, у меня чуть по другому (мог ошибиться где-то в преобразованиях). Но в обоих вариантах (в Вашем тоже) числитель получается отрицательным, как и полагается.

Можете, пожалуйста, написать, каким у вас получился числитель, я тоже мог где-то ошибиться.

[EUgeneUS]

Kevsh
Ваш числитель я перепишу так: $\frac{c}{R}(1 - k^{-\frac{1}{n}})$
У меня получился такой: $\frac{c}{R}(1 - k^{1-\frac{1}{n}})$
И тот, и другой отрицательны, потому что $k>1$ и $n<0$

Но обращаю внимание, Вы решаете немного не ту задачу, которая задана. Хотя в таком варианте тоже полезно довести до конца.

[Kevsh]

EUgeneUS в сообщении #1496705 писал(а):

Kevsh
Вы решаете немного не ту задачу, которая задана.

Я просто не совсем понимаю, как начертить график так, чтобы сначала шла изобара, потом изохора, а потом политропа(учитывая то, как выглядит политропа с таким показателем, я, вроде, её правильно на своем графике начертил). Как бы я все это не комбинировал, либо у меня не соблюдается порядок, либо цикл просто не замыкается, а без графика совершенно не ясно, как решать задачу.

[DimaM]

Kevsh в сообщении #1496617 писал(а):

Цикл выглядит так: процесс 1-2 это изобара, тепло подводится; процесс 2-3 это политропа, тепло отводится; процесс 3-1 это изохора, тепло подводится.

А точно так?
Может ведь тепло подводиться на политропе и отводиться на изохоре и изобаре.
По-хорошему, в условии должно быть указано, сжимается или расширяется газ на изобаре.

[EUgeneUS]

Kevsh
Начните с политропы. Точка $1$ - верхняя правая, точка $2$ - нижняя левая.
Далее (в Ваших обозначениях осей) нужно сдвинуться по горизонтали - по изобаре, так чтобы точка $3$ оказалась на одной вертикали с точкой $1$
После чего изохора замыкает цикл.

-- 16.12.2020, 15:20 --

DimaM в сообщении #1496745 писал(а):

По-хорошему, в условии должно быть указано, сжимается или расширяется газ на изобаре.

Вот этого достаточно:

Kevsh в сообщении #1496617 писал(а):

Работа в политропном процессе отрицательная

В двух оставшихся возможных вариантах изобара всегда направленна влево (то есть газ расширяется), а изохора - вверх.
А из этих двух вариантов нужный выбирается заданным порядком процессов.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1496749 писал(а):

Вот этого достаточно

Согласен.

EUgeneUS в сообщении #1496749 писал(а):

В двух оставшихся возможных вариантах изобара всегда направленна влево (то есть газ расширяется)

Тут нужно выбрать что-то одно: или изобара направлена влево, или газ расширяется.

EUgeneUS в сообщении #1496749 писал(а):

Начните с политропы. Точка $1$ - верхняя правая, точка $2$ - нижняя левая.
Далее (в Ваших обозначениях осей) нужно сдвинуться по горизонтали - по изобаре, так чтобы точка $3$ оказалась на одной вертикали с точкой $1$
После чего изохора замыкает цикл.

Так получится обратный цикл с отрицательной суммарной работой.