Среднее геометрическое и арифметическое.Доказать.

[@@@@@@@@@@]

Равно ли cреднее геометрическое чисел a и b \sqrt{ab}?

[Sрy]

Да.

[@@@@@@@@@@]

Спасибо,тогда можно ли задать еще один вопрос?

[ИСН]

Да хоть десять.

[@@@@@@@@@@]

Мне задали такую вешь :
Среднее арифметическое чисел a и b в m раз больше среднего геометрическогоэтих же чисел.Нужно доказать,что $\frac{a}{b}$=$\frac {m+\sqrt{m^2-1}} {m-\sqrt{m^2-1}}$.
Можно ли выразить из формул среднего арифметического и геометрического значения a и b?Потому что,как я понял, $\frac {a+b}{2}$ = m\sqrt{ab}

[PAV]

Обозначьте $\frac{a}{b}=x^2$. После подстановки $a=xb$ останется только квадратное уравнение на $x$.

[ИСН]

Там ответ вылезет в несколько неочевидном... впрочем, подождём с советами.

[@@@@@@@@@@]

А почему a=xb,а не a=x^2b?

[PAV]

$x^2$, я ошибся. Можно и $x$, но тогда потом все равно придется заменять его на $t^2$, чтобы получить квадратное уравнение.

[@@@@@@@@@@]

Сейчас попробую

Добавлено спустя 2 минуты 8 секунд:

А можно ли вынести из под знака радикала переменные x и b без модуля?

[PAV]

Я думаю, что в условии предполагается $a>0$ и $b>0$.

[@@@@@@@@@@]

Наверное)

Добавлено спустя 1 минуту 43 секунды:

$\frac {b(x^2-2xm+1)}{2}$=0

Добавлено спустя 20 минут 46 секунд:

при подстановке получается вышеуказанная бяка

Добавлено спустя 7 минут 52 секунды:

Я запутался

[PAV]

Непонятно, что Вы делали. У Вас было уравнение. А после подстановки появилось какое-то выражение. Куда пропал знак равенства?

[Бодигрим]

Я бы начал с того, что накладываемое условие на средние обладает тем свойством, что если $a$ и $b$ ему удовлетворяют, то оно также выполнено для $\lambda a$ $\lambda b$ при любом $\lambda$. Тогда, не учитывая тривиальное решение $(0,0)$, можем положить $b=1$ и получить уравнение $a+1=2m\sqrt a$, которое сразу легко решается.

[@@@@@@@@@@]

PAV писал(а):

Непонятно, что Вы делали. У Вас было уравнение. А после подстановки появилось какое-то выражение. Куда пропал знак равенства?

Прошу прощения,потерял знак равенства.

Добавлено спустя 7 минут 20 секунд:

@@@@@@@@@@ писал(а):

Наверное)

Добавлено спустя 1 минуту 43 секунды:

$\frac {b(x^2-2xm+1)}{2}$=0

Это я подставил вместо a x^2b в уравнение $\frac {a+b}{2}$ = m\sqrt{ab}
Если решить уравнение x^2-2mx+1 относительно x,то получается его корни равны m\pm \sqrt{m^2-1}