2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Каким методом можно решить данное УрЧП?
Сообщение11.12.2020, 03:52 


30/06/18
56
Здравствуйте!
Каким методом можно найти частное решение данного УрЧП?
$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\frac{\partial z}{\partial y}= e^{2x-y}$$
Решение способом " предположим,что решение выглядит так: $ z=Ae^{ax+by}$ "не считается :)
Пока что на уме было следующее:
Обозначим оператор производной по х как $ D_x$, по у - $D_y$.
Тогда левая часть уравнения может быть представлена как
$$ (D^2_x - D_y)z=[(D_x -\sqrt{D_y})(D_x +\sqrt{D_y})]z$$
Далее можно было бы обозначить $ (D_x +\sqrt{D_y})z=u$ и решить далее ДУ 1-го порядка $(D_x -\sqrt{D_y})u=e^{2x-y}$ и тд. Но проблема с корнем от оператора : непонятно,что с ним делать. Видимо ,метод представления исходного оператора в виде произведения операторов более низкого порядка в этом случае не работает.

Цитата:
В качестве упредительного маневра можно посмотреть метод Фурье разделения переменных

Не удается разделить переменные

 Профиль  
                  
 
 Re: Каким методом можно решить данное УрЧП?
Сообщение11.12.2020, 07:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Методом написания уравнения в Латехе здесь в теме, затем предоставления своих попыток решения, далее получения советов от знающих участников и в результате -- понимания как решать.

В качестве упредительного маневра можно посмотреть метод Фурье разделения переменных.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.12.2020, 11:14 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- не набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки ответа на вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение02.03.2021, 17:32 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Каким методом можно решить данное УрЧП?
Сообщение02.03.2021, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Asphy в сообщении #1495983 писал(а):
Каким методом можно найти частное решение данного УрЧП?
...
Решение способом " предположим,что решение выглядит так: "не считается :)

Если надо найти частное решение, то подобное ограничение неоправданно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каким методом можно решить данное УрЧП?
Сообщение03.03.2021, 01:00 


30/06/18
56
Red_Herring
Цитата:
Если надо найти частное решение, то подобное ограничение неоправданно.

Согласен, но все же интересно, можно ли как-то иначе найти частное решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Каким методом можно решить данное УрЧП?
Сообщение03.03.2021, 02:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Asphy в сообщении #1507539 писал(а):
можно ли как-то иначе найти частное решение
Противоестественно: поставить задачу Коши при $y=0$ (например, с $0$ нчальными данными) и решить ее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каким методом можно решить данное УрЧП?
Сообщение03.03.2021, 02:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Asphy в сообщении #1495983 писал(а):
Не удается разделить переменные
Вам же однородное уравнение всё равно решать.
Или не надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Каким методом можно решить данное УрЧП?
Сообщение03.03.2021, 09:41 
Заблокирован


16/04/18

1129
Попробуйте поискать в справочниках по нелинейным уравнениям Полянина/Зайцева и монографиях Капцова, если очень надо, конечно. Переменные в неоднородном уравнении не делятся, факт. Напоминает уравнение Пуанкаре, которое другими именами называют:
$$
\Delta u(x,y)=\exp(u),
$$
подобные уравнения есть в процитированном.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каким методом можно решить данное УрЧП?
Сообщение03.03.2021, 18:48 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Разделение переменных применить все же можно. Для этого ищем частное решение исходного неоднородного уравнения в виде $z(x,y)=X(x)Y(y)$, подставим $z$ в уравнение:$$\dfrac {X''}{X}-\dfrac {Y'}{Y}=\dfrac {e^{2x}}{X}\dfrac {e^{-y}}{Y}\eqno (1)$$Продифференцируем (1) по $y$:$$-\left (\dfrac {Y'}{Y}\right )'=\dfrac {e^{2x}}{X}\left (\dfrac {e^{-y}}{Y}\right )'\eqno (2)$$Т.к. левая часть (2) не зависит от $x$, то $X(x)=c_1e^{2x}$. Если продифференцировать (1) по $x$, то аналогично получим $Y(y)=c_2e^{-y}$ и, следовательно, $z=ce^{2x-y}$. Осталось определить $c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каким методом можно решить данное УрЧП?
Сообщение03.03.2021, 23:30 


30/06/18
56
novichok2018 Благодарю за справочник!
mihiv Спасибо! Весьма просто и изящно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group