Доказательство иррациональности кв.корня из 2 у Фихтенгольца

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1495926 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1495916 писал(а):

Доказательство, конечно, недоработано.

Оно некорректно.

А если так?

Пусть при произвольных целых $p, q$

Цитата:

существует такая дробь $\frac pq$, что ${(\frac pq)}^2=2$.

Так как $p^2=2q^2$, то $p$ есть число четное: $p=2r$ ($r \,\, -$ целое).

Подставляя вместо $p$ его выражение, найдем: $q^2=2r^2$, откуда следует, что $q \,\, -$ четное число. (Фихтенгольц)

Сократим дробь $\frac pq$ на наибольший четный общий делитель (это возможно, поскольку оба числа $p, q$ четные), получим $\frac {p'}{q'}$ и, соответственно, ${(\frac {p'}{q'})}^2=2$, откуда по аналогии с ${(\frac pq)}^2=2$, $p'$ четно. Тогда $q'$ нечетно.

Пусть $p'=2r'$ ($r' \,\, -$ целое).

Подставляя вместо $p'$ его выражение, найдем: $(q')^2=2(r')^2$, откуда следует, что $q' \,\, -$ четное число.

Полученное противоречие доказывает невозможность существования такой дроби $\frac pq$, что ${(\frac pq)}^2=2$.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1495959 писал(а):

А если так?

Теперь доказательство верно, но проще с самого начала сократить $p/q$ - полностью сократить, если она сократимая. Фихтенгольц так и делает. Поэтому у него доказательство короче и проще. Вы же зачем-то вначале проводите рассуждение с несокращённой дробью, хотя после этого Вам всё равно приходится её сокращать и повторять рассуждение заново.

[wrest]

Vladimir Pliassov
Да там дело-то не в чётности-нечетности, а в том что если квадрат делится на 2, то он обязательно делится и на 4.
С тройкой то же самое: если квадрат делится на 3, то он обязательно делится и на 9. Смотрите глубжее...

[Odysseus]

Vladimir Pliassov Часто бывает, что доказательство для общего случая проще (т.е. "понятнее", "лучше вкладывается в общую картину вашего математического мира" и "проще запоминается"), чем для частного. А именно, в тех случаях когда идея одна и та же, но в частном случае она завуалирована деталями и приемами, которые мешают увидеть и понять основную идею. Кажется, что это какой-то трюк, а доказательства с трюками всегда сложнее понять и принять.

Иногда для общего доказательства нужно знать некоторые дополнительные понятия/теоремы, но часто 1) это нечто не слишком сложное, и 2) общее доказательство (если знаешь нужные дополнительные факты) оказывается не длиннее частного, так что игра стоит свеч.

Здесь как раз такой случай. Доказательство у Фихтенгольца вполне стандартное для первого знакомства с иррациональностью $\sqrt{2}$, но такие вещи в нем как "четность чисел" и "несократимая дробь" это частности, которые могут только запутать, как похоже в вашем случае и происходит.

Как вас уже подводили к этому Mikhail_K и wrest, рассмотрите общий случай $p^N=nq^N$ где все числа натуральные и подумайте как доказать, что такое может быть только когда $n$ это $N$-я степень натурального числа. Доказательство не сложнее, чем для $n=2, N=2$, просто нужно знать один простой факт из теории чисел. Думаю вы его знаете, так что сможете все доказать очень просто (а если не знаете, то будет повод его узнать и заодно увидеть, где он применяется, а значит и его тоже лучше понять). Так вы все поймете намного лучше, чем если будете продолжать мусолить доказательство для $\sqrt{2}$, переставлять в нем слова и т.д.

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1495960 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1495959 писал(а):

А если так?

Теперь доказательство верно, но проще с самого начала сократить $p/q$ - полностью сократить, если она сократимая. Фихтенгольц так и делает. Поэтому у него доказательство короче и проще. Вы же зачем-то вначале проводите рассуждение с несокращённой дробью, хотя после этого Вам всё равно приходится её сокращать и повторять рассуждение заново.

Спасибо!

Для меня это было упражнение в доказательстве, хотелось найти такое, в котором хоть что-то отличалось.

Но Вы и mihaild озадачили меня положением, что в математике не допускаются утверждения вроде "$q$ может быть нечётным".

Мне кажется, что в совокупности утверждений "$q$ может быть нечетным" и "$q$ не может быть нечетным" заключается противоречие. Почему же оно - если оно есть, - не может служить инструментом доказательства?

[Aritaborian]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496021 писал(а):

Мне кажется, что в совокупности утверждений "$q$ может быть нечетным" и "$q$ не может быть нечетным" заключается противоречие.

На самом деле нет. Противоречие заключалось бы в совокупности утверждений "$q$ должно быть нечётным" и "$q$ не может быть нечётным".

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496021 писал(а):

что в совокупности утверждений "$q$ может быть нечетным" и "$q$ не может быть нечетным" заключается противоречие.

Мне тоже кажется, что противоречие в наличии, если переформулировать первое утверждение как "нечетное $q$ существует ", а второе как "нечетное $q$ не существует" -- противоречие. "Не может быть" скорее всего означает "не существует". Но вот что такое "может быть" -- это надо уточнять, т.к. " не не существует" не обязательно означает "существует".
Т.е. претензии - к вашей терминологии.

[Mikhail_K]

wrest в сообщении #1496024 писал(а):

Мне тоже кажется, что противоречие в наличии, если переформулировать первое утверждение как "нечетное $q$ существует ", а второе как "нечетное $q$ не существует" -- противоречие.

Вот именно. Но доказательства существования нечётного $q$ у ТС не было.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496021 писал(а):

Мне кажется, что в совокупности утверждений "$q$ может быть нечетным" и "$q$ не может быть нечетным" заключается противоречие.

Мне не понятно, что такое "может быть". Если придать этим словам строгий смысл, то их можно будет использовать.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496021 писал(а):

Но Вы и mihaild озадачили меня положением, что в математике не допускаются утверждения вроде "$q$ может быть нечётным".

Мне кажется, что в совокупности утверждений "$q$ может быть нечетным" и "$q$ не может быть нечетным" заключается противоречие. Почему же оно - если оно есть, - не может служить инструментом доказательства?

Проблема в том, что слова "может быть" можно интерпретировать по-разному:

1) Когда в самом деле $q$ в рамках данной задачи может быть нечетным при выполнении определенных условий. Но "может быть" даже в таких случаях не принято говорить, скорее скажут "будет нечетным при таких-то условиях". В этом случае, если выясняется, что при тех же условиях $q$ никак не может быть нечетным, то будет предпосылка для доказательства чего-то от противного.

2) Когда вам кажется (не проведя достаточного анализа), что $q$ может быть нечетным. Пусть, например, в задаче дан треугольник с некими условиями, и вы, недостаточно продумав задачу, говорите: "У него квадрат одной из сторон может быть равен сумме квадратов двух других сторон, а может быть и не равен". Потом вы изучили условия задачи внимательнее, что-то посчитали, выяснили что треугольник прямоугольный и говорите: "У него квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон". Здесь возникнет какое-то противоречие с вашим первым утверждением? Нет, конечно. Это ваши проблемы, что вы недостаточно продумали следствия условий задачи, а не проблемы задачи.

В данном случае ситуация c 1 и 2 следующая:

1) Если сначала исходить из того, что $\frac pq$ это несократимая дробь, а потом уже рассмотреть $p^2=2q^2$, то сначала очевидным образом выясняется, что $p$ это четное и поэтому $q$ должно быть нечетным (иначе $\frac pq$ не была бы несократима). А потом, подумав еще немного, выясняется, что при условии $p^2=2q^2$ число $q$ не может быть нечетным. Вот здесь появляется противоречие, которое и доказывает, что нужной дроби $\frac pq$ не существует.

2) НО когда вы рассматриваете равенство $p^2=2q^2$ без условия того, что дробь $\frac pq$ несократима (как у вас было выше при попытке "найти доказательство, в котором хоть что-то бы отличалось"), то никаких очевидных условий на $q$ сначала не обнаруживается. И подумав немного, вы можете сказать только то, что $q$ это четное. В данном случае ваше предположение "$q$ может быть нечетным", когда вы в первый раз посмотрели на $p^2=2q^2$, было необоснованным, поэтому ни к какому противоречию оно не приводит.

[Vladimir Pliassov]

Aritaborian в сообщении #1496023 писал(а):

Противоречие заключалось бы в совокупности утверждений "$q$ должно быть нечётным" и "$q$ не может быть нечётным".

wrest в сообщении #1496024 писал(а):

Мне тоже кажется, что противоречие в наличии, если переформулировать первое утверждение как "нечетное $q$ существует ", а второе как "нечетное $q$ не существует"

Mikhail_K в сообщении #1496027 писал(а):

Мне не понятно, что такое "может быть". Если придать этим словам строгий смысл, то их можно будет использовать.

А если так: "не исключено, что $q$ нечетно, и при этом не исключено, что $q$ четно"?

-- 11.12.2020, 16:28 --

wrest в сообщении #1495961 писал(а):

Vladimir Pliassov
Да там дело-то не в чётности-нечетности, а в том что если квадрат делится на 2, то он обязательно делится и на 4.
С тройкой то же самое: если квадрат делится на 3, то он обязательно делится и на 9.

Спасибо! Мне кажется, что для представления о предмете это очень полезная информация.

Однако, я думаю, нельзя сказать, чтобы при помощи этого критерия сразу была видна неверность равенства $p^2=2q^2$ (при целых $p, q$): пусть недостаточно, чтобы $p^2$ (то есть $2q^2$) делилось на два, а необходимо, чтобы оно делилось на четыре, но ведь не исключено, что взятое само по себе $q^2$ делится на два (если уже не доказано, что $q$ нечетно).

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496051 писал(а):

А если так: "не исключено, что $q$ нечетно, и при этом не исключено, что $q$ четно"?

Лучше не стало. Что такое "не исключено"?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1496053 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1496051 писал(а):

А если так: "не исключено, что $q$ нечетно, и при этом не исключено, что $q$ четно"?

Лучше не стало. Что такое "не исключено"?

Если взять само по себе $2q^2$ при целом $q$, то четность $2q^2$ не зависит от четности $q$.

Как бы Вы выразили этот факт на строгом математическом языке?

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496054 писал(а):

Как бы Вы выразили этот факт на строгом математическом языке?

Ваше рассуждение с "может - не может" некорректно и не подлежит исправлению.
Если словам "может быть" придать точный смысл, сразу станет ясно, что рассуждение никуда не годится.
А так Вы добавляете ещё нестрогих фраз. Что значит "само по себе"?

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1496056 писал(а):

Что значит "само по себе"?

Под "$2q^2$ само по себе" я имел в виду "не в составе равенства $p^2=2q^2$" (потому что, когда $2q^2$ находится в составе этого равенства, вопрос о четности $q$ усложняется).

Если так: "при целом $q$ четность $2q^2$ не зависит от четности $q$"?

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496060 писал(а):

Если так: "при целом $q$ четность $2q^2$ не зависит от четности $q$"?

"Для любого целого $q$, число $2q^2$ является четным".
Тут ещё надо не забыть что нуль - чётное целое число.