Задача из курса "теория чисел"

[artempalkin]

Это задача из одной из д/з по курсу "Теория чисел" одного из университетов. Поставила меня в тупик. То ли она неграмотная, то ли я чего-то не знаю

Укажите такие множества $A,\ B,\ C$, что

а) $A\in B$, $B\in C$ и $A\in C$

б) $A\in B$, $B\in C$, но $A\notin C$.

Я подозреваю, что я чего-то не знаю относительно использования знака $\in$ как соотношения множеств. Если он тут означает знак $\subset$, то пункт б) решения, конечно, не имеет. Я поискал смысл знака $\in$ для множеств, но как-то пока найти не смог. Подскажите, что может это означать?

[nnosipov]

Дайте ссылку на оригинал. Такой "теории чисел" мне еще не встречалось.

[artempalkin]

Вот такое вот д/з. Название вуза сейчас уточню, я просто забыл.
Не хочет он определять размеры изображения, поэтому сделаю ссылку на хостинг

https://ibb.co/MGY6y7q

[kotenok gav]

Может, подразумевалось, что $A$ - элемент множества $B$ и т.д.?

[Mihr]

artempalkin, мне кажется, тут всё правильно. Значок используется в традиционном смысле. Да и задача, по-моему, не бог весть какая. Просто нужно различать элемент множества и одноэлементное множество (содержащее этот самый элемент).

[Mikhail_K]

artempalkin в сообщении #1495816 писал(а):

Я поискал смысл знака $\in$ для множеств

Смысл самый обычный. Элементами множеств могут быть и множества.
Например, можно рассмотреть (безотносительно к вопросам задания) множество $M=\{1,2,\{1,2,3\}\}$.
Тогда $1\in M$, $2\in M$, $\{1,2,3\}\in M$, но $3\notin M$, $\{1,2\}\notin M$;
$\{1,2\}\subset M$, но $\{1,2,3\}\not\subset M$.

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1495819 писал(а):

поэтому сделаю ссылку на хостинг
https://ibb.co/MGY6y7q

Похоже на упражнения из "Сборника задач по алгебре и теории чисел" Куликова и др. Этакий курс типа "сборная солянка".

[Odysseus]

Видимо это учебник или задачник, который включает главу по теории множеств перед главами по теории чисел.

artempalkin
Смысл знака $\in$ для множеств в том, что множество $A$ может быть элементом множества $B$ "целиком", а не входить в него как набор своих элементов. Т.е. $A$ рассматривается как один/единый новый элемент в составе множества $B$, и далее уже может неважно что было раньше внутри $A$. Например, когда $A=\{1,2\}$, а $B=\{3,A\}=\{3,\{1,2\}\}$, что НЕ равно $\{3,1,2\}$. Из этого для множеств и вытекает разница между $\subset$ (отношение между множествами) и $\in$ (отношение между элементом и множеством).

А еще можно из $A$, делать $\{A\}$ и т.д. Подобная своеобразная "рекурсия" может быть бесконечной. Каждый раз ставите новые скобки - получаете новое множество. Известные примеры - конструирование натуральных чисел через пустое множество, особенно см. там конструкцию Цермело.

Еще один пример конструкции множеств таким образом это, обычные деньги. Обмениваете 100 копеек на рубль и далее обращаетесь только с ним, забыв про копейки. Потом обмениваете 10 бумажек по одному рублю на одну десятирублевку и далее обращаетесь только с ней и т.д. Но при этом могут быть ситуации, когда у вас в бумажнике кроме одной десятирублевки есть и 10 бумажек по рублю.

Из всего этого, думаю, вы легко сконструируете ваши примеры.

[Евгений Машеров]

(поправляя фуражку прапорщика Ясненько)
А -множество солдат взвода.
В - множество взводов роты
С - множество подразделений батальона.
Множество "Первый взвод" является подмножеством как множества В, так и множества С.
Но если С это множество рот батальона, то поскольку взвод не рота, то А не принадлежит С.
(старшина роты к-на Очевидность доклад закончил)

[artempalkin]

kotenok gav
Mihr
Mikhail_K
nnosipov
Odysseus
Евгений Машеров
Спасибо всем большое, условие я все-таки понял! Ну а поняв, построить пример уже не очень трудно!

Евгений Машеров в сообщении #1495841 писал(а):

(поправляя фуражку прапорщика Ясненько)
А -множество солдат взвода.
В - множество взводов роты
С - множество подразделений батальона.
Множество "Первый взвод" является подмножеством как множества В, так и множества С.
Но если С это множество рот батальона, то поскольку взвод не рота, то А не принадлежит С.
(старшина роты к-на Очевидность доклад закончил)

Спасибо отдельное, очень хороший практический пример :)

-- 09.12.2020, 18:51 --

nnosipov в сообщении #1495824 писал(а):

Этакий курс типа "сборная солянка".

Это ВШЭ. В математике у них сборная солянка, насколько я могу судить. С другой стороны теорию множеств сейчас пихают буквально в каждый курс (ну, объективно она настолько фундаментальна... в этом году на моей памяти она была частью курсов: матана, линала, функана, теории чисел, дискретной математики)

-- 09.12.2020, 18:57 --

nnosipov в сообщении #1495824 писал(а):

Похоже на упражнения из "Сборника задач по алгебре и теории чисел" Куликова

Кстати, если у вас есть он под рукой 1993 года издания, обратите внимание на задачу 1.3.2 :)

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1495876 писал(а):

обратите внимание на задачу 1.3.2

Да, действительно :) Как раз недавно просматривал этот задачник, но по другому поводу.

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1495878 писал(а):

Да, действительно :) Как раз недавно просматривал этот задачник, но по другому поводу.

А вы не подскажете, на какой учебник можно ориентироваться, чтобы решать задачи из этого задачника? В целом задач много и они интересные, но я не уверен в том, правильно ли я понимаю некоторые обозначения, хотелось бы быть уверенным.

[nnosipov]

artempalkin
А у Куликова и учебник есть ровно с таким же названием: "Алгебра и теория чисел". Раньше по нему в пединститутах занимались. Думаю, задачник под него и написан.

[artempalkin]

nnosipov в сообщении #1495880 писал(а):

А у Куликова и учебник есть ровно с таким же названием: "Алгебра и теория чисел"

Ааа, точно. Спасибо большое!

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1495880 писал(а):

Раньше по нему в пединститутах занимались

раньше в пединститутах, а теперь, очевидно, в ВШЭ