Модули над полупростыми кольцами

[MChagall]

Есть недопонимание и путаница с модулями. То есть что такое модуль в общем понятно: абелева группа $V$ с операцией умножения на элементы кольца $R$, т.е. с заданным отображением из $R\times V\to V$ с рядом свойств.
Но не могу понять как их получать над конкретными кольцами.
Ну например, задача описать неприводимые модули над кольцами (когда те полупросты):
1) $\mathbb{R}[x]/(x^2+px+q)$
2) $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
3) $M_k(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$.

В 1) кольцо полупросто при ненулевом дискриминанте. При отрицательном это $\mathbb{C}$ и неприводимые модули над ним только $\mathbb{C}$ и есть.
При положительном это $\mathbb{R}[x]/(x-x_1)\oplus \mathbb{R}[x]/(x-x_2)\approx \mathbb{R}\oplus \mathbb{R}$. А модули какие? То есть как их описать? Это какое-то пространство $V$ c операцией умножения на элементы из $\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}$. Наверное, можно сказать, что это пространство $V\oplus W$ с линейным оператором умножения $V$ на $x_1$, а $W$ на $x_2$? И неприводимые - это $V\oplus W$ для одномерных V и W? Если так, то почему подобным описанием исчерпываются все модули над данным кольцом?
2) Те же вопросы. Кольцо полупросто при $n$ - простом и произведении простых в единичных степенях. Но каковы модули?
А с 3) даже не знаю как описать модули.
Может, есть какой-то другой взгляд на модули, который сделает их более понятными для меня?

[Xaositect]

MChagall в сообщении #1495458 писал(а):

Наверное, можно сказать, что это пространство $V\oplus W$ с линейным оператором умножения $V$ на $x_1$, а $W$ на $x_2$?

Наверное можно сказать что угодно. А Вы докажите. Пусть $U$ - это $\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$-модуль. Определим $V = \dots$, $W = \dots$. Тогда...

[vpb]

Неприводимые модули над ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ --- это задача, проще которой, наверное, не бывает. В том смысле, что её, скажем так, разбить на шаги нельзя. Просто вспомнить все определения и в течение некоторого (может, и длительного) времени сосредотачивать свое внимание на этой задаче. Можно только посоветовать, в плане общей методологии, решать эту задачу последовательно для $n=2,3,4,5,6,7,8,9,10$. Да и первый пункт тоже несложен. Третий посложнее.

-- 07.12.2020, 01:12 --

Модуль --- это вроде векторного пространства, но не над полем, а над кольцом. Можете подумать еще вот над чем: осознать, что "модуль над ${\mathbb Z}$" --- это то же самое, что "абелева группа".

[MChagall]

vpb в сообщении #1495551 писал(а):

Неприводимые модули над ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ --- это задача, проще которой, наверное, не бывает.

Вогнали в краску.
Если $n=p$ - простое, то ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ - поле, и модули - это $({\mathbb Z}/n{\mathbb Z})^m$, а простые - ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$.
Далее, пусть $n=p_1\cdot ... \cdot p_k$.
Знаем, что простой $R$-модуль изоморфен фактормодулю $R/I$ по максимальному идеалу $I$. В кольце ${\mathbb Z}/p_1{\mathbb Z}\oplus ... \oplus {\mathbb Z}/p_k{\mathbb Z}$ максимальные идеалы - это прямые суммы с пропуском одного $p_i$. Фактор по ним - это как раз $\mathbb Z}/p_i{\mathbb Z}$. Получается, что ${\mathbb Z}/p_i{\mathbb Z}$ и есть простые ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ - модули. Верно?

[vpb]

MChagall в сообщении #1495606 писал(а):

Получается, что ${\mathbb Z}/p_i{\mathbb Z}$ и есть простые ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$ - модули. Верно?

Верно. И определить простые модули над кольцом ${\mathbb R}\oplus{\mathbb R}$ тоже будет несложно, надеюсь (задача той же трудности).

-- 07.12.2020, 18:09 --

MChagall в сообщении #1495606 писал(а):

Вогнали в краску.

Не имел такого намерения. Просто информировал, на всякий случай, о том, каков уровень сложности этой задачи (чтобы не думали, что она какая-то сложная).

[MChagall]

vpb в сообщении #1495625 писал(а):

над кольцом ${\mathbb R}\oplus{\mathbb R}$ тоже будет несложно

Но по тем же соображениям ведь получается, что простой ${\mathbb R}\oplus{\mathbb R}-mod\approx ({\mathbb R}\oplus{\mathbb R})/\mathbb{R}=\mathbb{R}$

-- 07.12.2020, 23:38 --

А для матриц $M_k(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=M_k(\mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z})\oplus ... \oplus M_k(\mathbb{Z}/p_m\mathbb{Z})$ и простые модули - это $M_k(\mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z})$

[Xaositect]

MChagall в сообщении #1495655 писал(а):

Но по тем же соображениям ведь получается, что простой ${\mathbb R}\oplus{\mathbb R}-mod\approx ({\mathbb R}\oplus{\mathbb R})/\mathbb{R}=\mathbb{R}$

Тут важно, что $\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$ имеет 2 максимальный идеала. "Левое" $\mathbb{R}$ и "правое" $\mathbb{R}$ - это неизоморфные модули.

MChagall в сообщении #1495655 писал(а):

А для матриц $M_k(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=M_k(\mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z})\oplus ... \oplus M_k(\mathbb{Z}/p_m\mathbb{Z})$ и простые модули - это $M_k(\mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z})$

Нет. Какие будут простые модули у $M_k(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$? Подумайте об умножении матриц на векторы.