Найти уравнение прямой, делящей угол в заданном отношении

[Jendose]

Необходимо вывести уравнение прямой, которая в заданном отношении делит угол между двумя прямыми, заданными уравнениями:
$A_1x + B_1y + C_1 = 0$
$A_2x + B_2y + C_2 = 0$

Есть уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых:
$\alpha(A_1x + B_1y + C_1)+\beta(A_2x + B_2y + C_2) = 0$

Для биссектрисы значения $\alpha$ и $\beta$ будут равны соответственно:
$\frac{1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$

Пытался нагуглить, как выводятся эти коэффициенты, но нигде не нашел, всюду только готовая формула. Может кто знает, где найти доказательство?

Вот, но я бы хотел функцию для общего случая

То есть, на входе:
•‎ уравнение 1 прямой: $A_1x + B_1y + C_1 = 0$
• уравнение 2 прямой: $A_2x + B_2y + C_2 = 0$
• ‎‎отношение углов, на которые нужно разделить угол между данными прямыми: $k$

На выходе:
• уравнение искомой прямой (в любом виде)

Получается, что в частном случае, когда $k = 1$, эта функция вернет уравнение биссектрисы, т.к. полученные углы делятся в отношении один к одному
Например, при $k = \frac{2}{3}$ функция вернет уравнение линии, которая делит данный угол в отношении 2 к 3

Ну или же коэффициент $k$ на входе может означать не отношение полученных углов, а часть, которую первый полученный угол составляет от данного угла
В таком случае функция вернет уравнение биссектрисы в случае, когда $k = \frac{1}{2}$, т.к. первый полученный угол составляет половину данного угла
Соответственно уравнение линии, которая делит данный угол в отношении 2 к 3, функция вернет при $k = \frac{2}{5}$, т.к. $\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1$

Не знаю, как лучше. Да и вообще без понятия, как вывести такую формулу, и возможно ли это вообще
Был бы рад получить ответ


P.S. Я не математик, так что сори если что)

[Pphantom]

Зададим несколько наводящих вопросов:
1) Вам известен смысл коэффициентов $A_i$ и $B_i$ в уравнениях прямой?
2) Вы знаете, как найти угол между двумя прямыми, если известны их уравнения?
3) Вы знаете, как найти точку пересечения двух прямых, если известны их уравнения?

[Sicker]

Jendose в сообщении #1495620 писал(а):

‎‎отношение углов, на которые нужно разделить угол между данными прямыми: $k$

Увы, это невозможно

[Sender]

Sicker в сообщении #1495638 писал(а):

Увы, это невозможно

Почему?

[StaticZero]

Jendose, вам нужны, как минимум, 1) точка пересечения заданных прямых и 2) уравнение произвольной прямой, проходящей через эту точку. Может оказаться удобным записать уравнения прямых в нормальном виде.

Когда напишете, может быть, сами уже всё и решите.

[Sicker]

Sender в сообщении #1495641 писал(а):

Почему?

Ну если у нас отношение $1:7$ тогда получается уравнение восьмой степени, которое не решается в радикалах. А уж про иррациональные отношение вообще молчу

[Pphantom]

Sicker, я так пока деликатно намекну, что последний месячный бан за несение чуши в ПРР у вас кончился меньше месяца назад. Давайте вы все-таки будете сначала думать, а потом писать, хорошо?

[Someone]

(Sicker)

Sicker в сообщении #1495646 писал(а):

Sender в сообщении #1495641 писал(а):

Почему?

Ну если у нас отношение $1:7$ тогда получается уравнение восьмой степени, которое не решается в радикалах. А уж про иррациональные отношение вообще молчу

Э-э-э… Кто-нибудь упоминал циркуль и линейку без делений? Или решение уравнений в радикалах? Вопрос риторический, отвечать мне не надо.

Jendose в сообщении #1495620 писал(а):

Необходимо вывести уравнение прямой, которая в заданном отношении делит угол между двумя прямыми, заданными уравнениями:
$A_1x + B_1y + C_1 = 0$
$A_2x + B_2y + C_2 = 0$

Рекомендую перейти к нормальным уравнениям прямых и рассматривать направленный угол "от прямой $L_1$ до прямой $L_2$". Или к уравнениям с угловым коэффициентом. Там будет легче разобраться, потому что какие-то углы будут явно или неявно входить в уравнения.
А потом можно попробовать разобраться с общими уравнениями.

[TOTAL]

Jendose в сообщении #1495620 писал(а):

Есть уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух данных прямых:
$\alpha(A_1x + B_1y + C_1)+\beta(A_2x + B_2y + C_2) = 0$

Для биссектрисы значения $\alpha$ и $\beta$ будут равны соответственно:
$\frac{1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$

1. Если уравнения переписать так, чтобы $\frac{1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\frac{1}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}=1$, то для биссектирисы были бы единички. Вот и перепишите.

2. А что если искать (после выполнения пункта 1) в виде $\sin\omega(A_1x + B_1y + C_1)+\cos\omega(A_2x + B_2y + C_2) = 0$?