Вероятность s-грамм

[Stasya7]

Есть довольно длинная последовательность целых чисел (от $1$ до $n$), сгенерированных случайно равновероятно и независимо: $m_1, m_2,..., m_s, m_{s+1},...$

Вероятность $P(m_1+m_2+...+m_s \leqslant M)$ можно оценить нормальным распределением при достаточно большом $s$. Допустим, она известна.

Как найти условную вероятность $P(m_2+m_3+...+m_{s+1} \leqslant M)$, когда известно, что $m_1+m_2+...+m_s \leqslant M$?

Сама условная вероятность будет отношением совместной вероятности и вероятности, что первая сумма не превосходит $M$. Так как первая сумма ни от чего не зависит, ее можно аппроксимировать нормальным распределением. Вторую сумму не получится оценить ЦПТ, поскольку она уже зависит от первой. То есть во втором случае сумма первых $s-1$ слагаемых априори меньше $M$. А вот как оценить, что при этом условии добавление независимой случайной величины $m_{s+1}$ не выведет сумму за пределы $M$, пока непонятно.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Вторая копия удалена.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[alisa-lebovski]

Вам надо найти условное распределение нормальной случайной величины с известными параметрами, при условии, что она меньше $M$, потом взять его свертку с распределением слагаемого, и найти вероятность, что сумма меньше $M$. То, что слагаемые целые, упрощает дело.

[Stasya7]

alisa-lebovski в сообщении #1495412 писал(а):

Вам надо найти условное распределение нормальной случайной величины с известными параметрами, при условии, что она меньше $M$

Ищу условное распределение: $P(m_i | m_i < M) = \frac{P(m_i < x, m_i < M)}{P(m_i < M)} = \frac{P(m_i < x, x < M)+P(m_i < M, x \geqslant M)}{P(m_i<M)}$. Вот дальше не пойму, как найти совместные распределения в числителе?

[Stasya7]

UPD: Может так?
$$P(m_i | m_i < M) = \begin{cases} \frac{P(m_i < x)}{P(m_i < M)},&\text{если $x<M$;}\\ 1,&\text{если $x\geqslant M$;}\\ \end{cases}$

[Евгений Машеров]

Я бы посмотрел в сторону $S_2=S_1+(s_{n+1}-s_1)$

[alisa-lebovski]

Stasya7 в сообщении #1495448 писал(а):

Ищу условное распределение

Вы же сами пишете, что сумма большого числа слагаемых описывается нормальным распределением, а не отдельного слагаемого. Для суммы и надо делать. С учетом ее среднего и дисперсии.

[alisa-lebovski]

Stasya7 в сообщении #1495465 писал(а):

Может так?

Как-то так, но применительно к сумме.

[DeBill]

Stasya7
Задача выглядит, увы, безнадежной...
Пусть $\xi$ - сумма слагаемых со второго по $s$-е; надо посчитать
$p=P\{\xi+m'<M|\xi+m<M\}$, где $m,m'$- независимы с $\xi$, равномерно распределены на целых из $[1,n]$.
Это равно$~~~p=\frac{p_1}{p_2}$, где $p_2=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}P\{\xi<M-k\}$,

$$p_1=P\{\xi+m'<M,\xi+m<M\}=P\{\xi<M-\max\{m,m'\}\}=\sum\limits_{k=1}^{n}P\{\xi<M-k\}\frac{2k-1}{n^2}$$

Вероятности $P\{\xi<N\}$ считаются тяжело. При этом: если использовать предельные теоремы, то надлежит считать $s$ большим; но предельные теоремы дают ошибку порядка $\frac{1}{\sqrt{s}}$, так что , если мы желаем, чтобы ошибка не забила значимые величины, надо предполагать, что $M=s\cdot\frac{n+1}{2}+O(\sqrt{s})$. Но для таких $M$, все вероятности $P\{\xi<M-k\}$, с разными $k$, практически неразличимы (в предположении, что $n$ - фиксировано), что дает $p=1$....

[Stasya7]

alisa-lebovski в сообщении #1495469 писал(а):

Для суммы и надо делать. С учетом ее среднего и дисперсии.

Условное распределение суммы:

$$\begin{cases} \frac{P(m_1+...+m_s < x)}{P(m_1+...+m_s < M)} = \frac{\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})} = A\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma}),&\text{если $x<M$;}\\ 1,&\text{если $x\geqslant M$.} \end{cases}$$

$x$ меняется от $s$ до $ns $

Распределение слагаемого: $\frac{1}{n}$ для любого $x$

Теперь свертка:
$\frac{A}{n}\int\limits_{s}^{ns}e^-\frac{(x-u)^2}{2} du= \frac{A}{n} \sqrt{\frac{\pi}{2}}(\Phi(\frac{ns-x}{\sqrt{2}})-\Phi(\frac{s-x}{\sqrt{2}}))$, $x<M$

Так?

[alisa-lebovski]

Первая часть так (только приближенно), а вторая нет. Свертка с дискретным распределением - это не интеграл, а сумма.

[Stasya7]

alisa-lebovski в сообщении #1495503 писал(а):

Свертка с дискретным распределением - это не интеграл, а сумма.

$\frac{A}{n}\sum\limits_{i=s}^{ns} e^{-\frac{i^2}{2}$ ?

[Stasya7]

Точнее с учетом параметров:

$$P(m_1+...+m_s+m_{s+1} < x | m_1+...+m_s< M) = \frac{A}{n\sigma \sqrt{2 \pi}}\sum\limits_{i=s}^{ns} e^{-\frac{1}{2}(\frac{i-\mu}{\sigma})^2}$$

-- 06.12.2020, 21:11 --

DeBill в сообщении #1495480 писал(а):

Stasya7
Задача выглядит, увы, безнадежной...

DeBill, в более общем виде задача звучит так:

Есть довольно длинная последовательность чисел (числа принимают значения из дискретного множества мощностью $n$), сгенерированных случайно равновероятно и независимо: $m_1, m_2,..., m_s, m_{s+1},...$

Составляется последовательность сумм из $s$ слагаемых:
$m_1+m_2+...+m_s$,
$m_2+m_3+...+m_{s+1}$,
$m_3+m_4+...+m_{s+2}$,
$...$

$...$

$...$

Нужно оценить вероятность, что сумма $m_i+m_{i+1}+...+m_{i+s-1}$ меньше $M$.

То есть, если было сгенерировано $N$ чисел, то таких сумм будет $N-s+1$. Нужно найти (возможно оценить сверху/снизу), какую долю от общего количества таких сумм составят суммы, не превышающие $M$.

[DeBill]

Stasya7 в сообщении #1495520 писал(а):

Точнее с учетом параметров:

Не, не так...Слагаемых многовато, их должно быть $n$ штук (по числу значений дискретной составляющей; я ж выше писал - это то , что было обозначено $p_2$); Ваша же сумма - это интегральная сумма (которая у Вас и была ранее выписана - через ФИ). И таки учитывайте погрешность асимптотических формул - и мы вернемся туда же: условная вероятность равна 1, в обозримых случаях. Что-то нетривиальное можно надеяться получить лишь в случаях, когда $s,M$ и $n$ ка-то хорошр увязаны друг с другом (и все - большие...)