Преобрзоавние координат. Декартовые в полярные.

[antonio.troitsky]

Помогите разорабтсья с преобразованием координат, а то я затупил.

Есть вектор $A = (a_x, a_y)$.

Преобразование координат из декартовой в полярные координаты:

$$\begin{pmatrix} a_\rho\\ a_\varphi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_x\\ a_y \end{pmatrix} $$

$r = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}, \cos \varphi = a_x / r, \sin = a_y /r $.

$$\begin{pmatrix} a_\rho\\ a_\varphi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x / r & a_y / r \\ -a_y / r & a_x / r\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_x\\ a_y \end{pmatrix} $$

Если выразить компоненты векторов в полярной системе координат.

Получается $a_\rho = (a_x^2 + a_y^2) / r, a_\varphi = -a_y a_x / r + a_x a_y / r = 0 (???)$

У меня компонента $a_\varphi$ зануляется. В чем проблема?

[Pphantom]

antonio.troitsky в сообщении #1495094 писал(а):

Преобразование координат из декартовой в полярные координаты:

А почему это преобразование в полярные координаты? Как вариант - что именно вы называете полярными координатами?

[antonio.troitsky]

Pphantom в сообщении #1495095 писал(а):

antonio.troitsky в сообщении #1495094 писал(а):

Преобразование координат из декартовой в полярные координаты:

А почему это преобразование в полярные координаты? Как вариант - что именно вы называете полярными координатами?

Под полярными координатами имеется в вдиу следующее https://www.wikiwand.com/ru/%D0%9F%D0%B ... 0%B0%D1%82

Про преобразование координат написано тут. Если рассмотреть преобразования для цилиндрической ск, то они эквивалентны для полярных, если не рассматривать ось z (рис 2.2)
http://www.uobabylon.edu.iq/eprints/pap ... 775_76.pdf

[Pphantom]

antonio.troitsky в сообщении #1495101 писал(а):

Под полярными координатами имеется в вдиу следующее

Иначе говоря, нечто общепринятое. Это хорошо.

Но вот последующее тогда становится малоосмысленным. Вы фактически раскладываете вектор, направленный из начала координат в какую-то точку (т.е. вдоль радиуса), на линейную комбинацию полярных ортов (один направлен вдоль радиуса, второй - перпендикулярно ему). Неудивительно, что у вектора компонента, перпендикулярная ему самому, нулевая.

[antonio.troitsky]

Pphantom в сообщении #1495111 писал(а):

antonio.troitsky в сообщении #1495101 писал(а):

Под полярными координатами имеется в вдиу следующее

Иначе говоря, нечто общепринятое. Это хорошо.

Но вот последующее тогда становится малоосмысленным. Вы фактически раскладываете вектор, направленный из начала координат в какую-то точку (т.е. вдоль радиуса), на линейную комбинацию полярных ортов (один направлен вдоль радиуса, второй - перпендикулярно ему). Неудивительно, что у вектора компонента, перпендикулярная ему самому, нулевая.

Не совсем понял, например вектора в декартовых координатах $ A = (1,1)$. Тогда $a_\rho = \sqrt{2}, a_\varphi = \pi/4$. Просто я пытаюсь понять, как через преобрзоавния координат переводить координаты из одной СК в другую. Если выразить косинусы и синусы через компоненты координат, то должны получиться осмысленные преобразования, однако у меня получается что-то слабоосмысленное.

[EUgeneUS]

antonio.troitsky в сообщении #1495116 писал(а):

однако у меня получается что-то слабоосмысленное.

Это верно.

antonio.troitsky в сообщении #1495101 писал(а):

Про преобразование координат написано тут. Если рассмотреть преобразования для цилиндрической ск, то они эквивалентны для полярных, если не рассматривать ось z (рис 2.2)

Вы смотрите на рисунок 2.2, где описывается преобразование из одной СК в другую координат точки, а используете формулы относящиеся к рисунку 2.3, где описываются преобразования компонент вектора.

[amon]

antonio.troitsky в сообщении #1495094 писал(а):

В чем проблема?

Видимо, в том, что не понятно, какую задачу Вы решаете. Если задачу:"Найти полярные координаты точки, в которую указывает вектор $A,$ то это тривиально. Если задачу: "Есть вектор $A,$ отложенный из начала координат, найти проекции этого вектора на направления $\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\varphi,$", то она не решается, так как локальный репер не определен в начале координат. Если какую-то другую, то не худо было бы уточнить какую.

[Pphantom]

antonio.troitsky, ваша проблема в том, что вы смешали воедино две задачи. Вопрос о том, как преобразовать координаты из декартовых в полярные - это одно, вопрос о том, как разложить вектор, отложенный от какой-то точки, по полярным ортам - другое.

[antonio.troitsky]

EUgeneUS в сообщении #1495117 писал(а):

antonio.troitsky в сообщении #1495116 писал(а):

однако у меня получается что-то слабоосмысленное.

Это верно.

antonio.troitsky в сообщении #1495101 писал(а):

Про преобразование координат написано тут. Если рассмотреть преобразования для цилиндрической ск, то они эквивалентны для полярных, если не рассматривать ось z (рис 2.2)

Вы смотрите на рисунок 2.2, где описывается преобразование из одной СК в другую координат точки, а используете формулы относящиеся к рисунку 2.3, где описываются преобразования компонент вектора.

А в чем принципиальное отличие? Координаты вектора это не набор чисел?

Или что подразумевается под комопнентами вектора?

[antonio.troitsky]

amon в сообщении #1495123 писал(а):

Видимо, в том, что не понятно, какую задачу Вы решаете. Если задачу:"Найти полярные координаты точки, в которую указывает вектор $A,$ то это тривиально. Если задачу: "Есть вектор $A,$ отложенный из начала координат, найти проекции этого вектора на направления $\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\varphi,$", то она не решается, так как локальный репер не определен в начале координат. Если какую-то другую, то не худо было бы уточнить какую.

Pphantom в сообщении #1495125 писал(а):

antonio.troitsky, ваша проблема в том, что вы смешали воедино две задачи. Вопрос о том, как преобразовать координаты из декартовых в полярные - это одно, вопрос о том, как разложить вектор, отложенный от какой-то точки, по полярным ортам - другое.

Координаты точек мне понятно как преобразуются. Я хотел вспомнить как преобразуются координаты векторов. Как мне казалось, под координатами $a_x, a_y$ можно рассмаотреть зависимость от $\varphi, \rho$ и подставить в матрицу преобразования. Тогда что поразумевается под $a_x, a_y$, если не значения компонент вектора?

Я видимо давно это проходил, посоветуйте литературу или как называется тема, которая покрывает данный материал?

[EUgeneUS]

antonio.troitsky в сообщении #1495144 писал(а):

Я хотел вспомнить как преобразуются координаты векторов.

так воспользуйтесь правильной картинкой - рисунок 2.3 в Вашем материале.
И скажите, пожалуйста, угол $\varphi$ - это что?

[StaticZero]

antonio.troitsky в сообщении #1495144 писал(а):

Тогда что поразумевается под $a_x, a_y$, если не значения компонент вектора?

Когда вы переходите к цилиндрической системе координат, вы к каждой точке плоскости $\mathbf r$ "приклеиваете" базис $\mathbf e_r, \mathbf e_\phi$ по правилу

$$ \begin{align*} \mathbf e_r &= (\mathbf e_x \cdot \mathbf r/r) \mathbf e_x + (\mathbf e_y \cdot \mathbf r/r) \mathbf e_y, \\ \mathbf e_\phi &= -(\mathbf e_y \cdot \mathbf r/r) \mathbf e_x + (\mathbf e_x \cdot \mathbf r/r) \mathbf e_y, \end{align*} $$

где $\mathbf r$ -- вектор на плоскости с координатами в базисе $\mathbf e_x, \mathbf e_y$. По очевидным причинам, приклеить такой базис к началу координат (к нулевому вектору $\mathbf r$) вы не можете.

Соответственно, утверждение о том, что вектор $(1, 1)$ в декартовом базисе имеет угловую компоненту $\pi/4$ лишено смысла, пока вы не укажете, откуда вы отложили этот вектор, о чём вам и говорит уважаемый amon.

Для вектора, отложенного из начала координат, угловая компонента не определена, потому что в начале координат не определён соответствующий базис (хотя направляющие косинусы у такого вектора вполне себе есть).

antonio.troitsky в сообщении #1495116 писал(а):

Тогда $a_\rho = \sqrt{2}, a_\varphi = \pi/4$

Этот угол, который вы приводите ($\pi/4$) -- это другая вещь. Чтобы это понять, рассмотрим некоторое движение точки по траектории, не проходящей через нуль. В каждой точке траектории, тем самым, определён цилиндрический базис $\mathbf e_r, \mathbf e_\phi$, по которому мы разложим поле скоростей $\dot{\mathbf r} = \mathbf v$. Мы можем рассмотреть величину

$$ \Delta \phi = \int \frac{v_\phi \ \mathrm dt}{r}, $$

которая показывает, как поворачивается единичный вектор в направлении на точку (тот самый, который $\mathbf r/r$). Собственно, интеграл этот и есть угол поворота, что легко проверить; однако, сама по себе векторная угловая компонента у радиус-вектора чего бы то ни было отсутствует (так что ваш $\pi/4$ никакой не $a_\phi$, а $\sqrt 2$ всего лишь длина вектора и больше ничего).