Предел функции

[Ёж]

Подскажите, пожалуйста, где ошибка?
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{e^x-1}{x}x+\frac{e^{-x}-1}{-x}(-x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{0}{x^2}=0$

[mihaild]

Во втором переходе, $\frac{e^x - 1}{x} \neq 1$.

[Padawan]

mihaild в сообщении #1495072 писал(а):

$\frac{e^x - 1}{x} \neq 1$,

В догонку: правильно было бы написать $\frac{e^x-1}{x}=1+o(1)$, но это не поможет. Точности не хватает.

[VPro]

Представьте числитель как квадрат разности двух экспонент

[ewert]

Padawan в сообщении #1495076 писал(а):

правильно было бы написать $\frac{e^x-1}{x}=1+o(1)$, но это не поможет.

Отчасти поможет. Ответа, конечно, не даст, но чётко покажет, что это -- тупиковый путь (в то время как исходный вариант решения был просто неверным).

-- Чт дек 03, 2020 19:48:47 --

VPro в сообщении #1495089 писал(а):

Представьте числитель как квадрат разности двух экспонент

А ещё лучше заранее вынести одну из экспонент за скобки -- тогда квадрат разности будет совсем бросаться в глаза.

[Ёж]

VPro в сообщении #1495089 писал(а):

Представьте числитель как квадрат разности двух экспонент

Как вычислять правильно я знаю!
Я не понимаю ошибку в решении, который указал в первом сообщении.
Вроде все правильно, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{-x}-1}{-x}=1$

[mihaild]

Ёж в сообщении #1495294 писал(а):

Вроде все правильно, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{-x}-1}{-x}=1$

Ну и что?
Вы тут сделали переход вида $\lim f(g(x), h(x), x) = \lim f(\lim g(x), \lim h(x), x)$. С чего вы взяли, что такой переход законен?

[nnosipov]

Ёж в сообщении #1495294 писал(а):

Вроде все правильно

Ну, раз правильно, укажите теорему, на основе которой поставлен второй слева знак равенства. Знаки равенств просто так не ставятся.

[ewert]

Ёж в сообщении #1495294 писал(а):

Вроде все правильно, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{-x}-1}{-x}=1$

Запомните простое правило: нельзя заменять отдельные слагаемые на их пределы, если эти пределы сокращаются. Или если в сумме остаётся ещё что-то незаменённое.

Да, предел числителя у Вас действительно равен нулю. Ну и что? У знаменателя-то ведь тоже ноль. Между тем хоть какую-либо информацию о поведении числителя Вы после своей замены полностью потеряли.

[Ёж]

Спасибо большое всем! Дошло!