четытехугольник

[daogiauvang]

Данно четырехугольник $ABCD$ , вне четырехугольника $ABCD$ построим 4 стронних треугольника $ABX, BCY,CDZ,DAT$
Пусть $O$ центр вписанной окружности треугольника$CDZ$ и $E,F$ середины соответвсвую $AT,BY$.
Доказать, что $XO $ перпендикулярно $EF$
Я уже вырезал!

[Brukvalub]

daogiauvang в сообщении #149242 писал(а):

Пусть $O$ центр окружности $CDZ$

Как ЭТО понимать??? Ведь $CDZ$ - это треугольник, а не окружность!

[Бодигрим]

daogiauvang в сообщении #149242 писал(а):

4 стронних треугольника

Каких-каких треугольника? Для произвольных треугольников утверждение задачи, очевидно, неверно. Наверное, вы имеете в виду равносторонние?

daogiauvang в сообщении #149242 писал(а):

Я уже вырезал!

Чего вы сделали?

[daogiauvang]

daogiauvang писал(а):

Данно четырехугольник $ABCD$ , вне четырехугольника $ABCD$ построим 4 равностронних треугольника $ABX, BCY,CDZ,DAT$
Пусть $O$ центр вписанной окружности треугольника$CDZ$ и $E,F$ середины соответвсвую $AT,BY$.
Доказать, что $XO $ перпендикулярно $EF$
Я уже вырезал!

[Бодигрим]

Наверное, существует какое-нибудь чисто геометрическое решение. Но я бы решал средствами аналитической геометрии: для равностороннего треугольника центр вписанной окружности - это просто центр масс. Найти третью вершину равностороннего треугольника по известным двум - по идее не очень громоздко. Перпендикулярность можно будет удобно проверить как равенство нулю скалярного произведения соответствующих векторов.

[gris]

Есть серия подобных задач для школьников. Для четырехугольника, по-моему, требуется выпуклость. На сторонах строятся квадраты, треугольники и прочее. Соединяются вершины или центры фигур, построенных на противоположных сторонах. Требуется доказать перпендикулярность и даже равенство этих отрезков. Доказывается очень нудно через углы, либо с помощью поворота на 90 вокруг некоторой точки, которую надо еще определить. У daogiauvang тоже на сторонах построены равносторонний треугольник, равнобедренный с углом 120, два прямоугольных с углами по 30. Это чтобы от центра окружности и середин сторон перейти к вершинам фигур. Для невыпуклых четырехугольников не знаю, в школе их как-то не жалуют.
Но школьные задачи, действительно, иногда легче решаются с помощью векторной алгебры.

[bot]

Согласен с Бодигримом. Вряд ли что-нибудь чисто геометрическое можно найти. Я бы тоже пошёл тоже через аналитику. Точнее - через векторную алгебру или, что фактически то же самое, через комплексные числа - поворачивать на заданный угол удобно.

[arqady]

Да, всё правильно!

$$R^{90^{\circ}}\left(\vec{EF}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\vec{OX}.$$

daogiauvang, воспользуйтесь тем, что результат поворота вектора на угол не зависит от центра поворота.
Кстати, результат задачи верен для любых четырёх точек плоскости $A,$ $B,$ $C$ и $D$ ( в этом порядке. "Вне" означает в одном направлении при обходе точек в заданном порядке. ) с тривиальными оговорками на вырожденные случаи.

[TOTAL]

Утверждение в самом деле верно для любого расположения точек,
надо только при обходе периметра откладывать треугольники по одну сторону.

Какие здесь могут быть выроржденные случае? Нету их.
(Разве что все вершины 4-угольника совпадают? Но и это ничему не мешает)