Уравнение треугольника

[arqady]

Евгеша писал(а):

На плоскости задан треугольник (координаты вершин). Найти его уравнение в виде F(x,y)=0.

P.S. под треугольником понимается область, ограниченная треугольником, включая его самого. Как это записать в виде уравнения до меня не доходит

Например, треугольник с вершинами $(0,1),$ $(1,0)$ и $(2,0)$ задаётся вот таким уравнением:

$$\sqrt{2-2y-x}+\sqrt y+\sqrt{x+y-1}=\sqrt{2-2y-x}+\sqrt y+\sqrt{x+y-1}.$$

Вот Вы найдите уравнение границы этого треугольника.

[TOTAL]

arqady писал(а):

Например, треугольник с вершинами $(0,1),$ $(1,0)$ и $(2,0)$ задаётся вот таким уравнением:

$$\sqrt{2-2y-x}+\sqrt y+\sqrt{x+y-1}=\sqrt{2-2y-x}+\sqrt y+\sqrt{x+y-1}.$$

Не нужны нам корни:

$$|2-2y-x|+|y|+|x+y-1|=1$$

Добавлено спустя 11 минут 56 секунд:

Re: Уравнение треугольника

VAL писал(а):

Пусть, например, $A(1;2), B(2;5), C(5;3)$.
Тогда соответветствующее уравнение:

$$sgn(sgn(3x-y-1)+0.5)+sgn(sgn(-x+4y-7)+0.5)+sgn(sgn(-2x-3y+19)+0.5)=3$$

.

$$|3x-y-1|+|-x+4y-7|+|-2x-3y+19|=11$$

[VAL]

TOTAL в сообщении #149487 писал(а):

VAL писал(а):
Пусть, например, $A(1;2), B(2;5), C(5;3)$.
Тогда соответветствующее уравнение:

$$sgn(sgn(3x-y-1)+0.5)+sgn(sgn(-x+4y-7)+0.5)+sgn(sgn(-2x-3y+19)+0.5)=3$$

.

$$|3x-y-1|+|-x+4y-7|+|-2x-3y+19|=11$$

Согласен, что так симпатичнее.
Зато у меня загадочнее

[AD]

В-общем, ясно, что $F$ можно сделать бесконечно дифференцируемой, а аналитичной уже нельзя.

[arqady]

TOTAL писал(а):

arqady писал(а):

Например, треугольник с вершинами $(0,1),$ $(1,0)$ и $(2,0)$ задаётся вот таким уравнением:

$$\sqrt{2-2y-x}+\sqrt y+\sqrt{x+y-1}=\sqrt{2-2y-x}+\sqrt y+\sqrt{x+y-1}.$$

Не нужны нам корни:

$$|2-2y-x|+|y|+|x+y-1|=1$$

Красиво!
А как на счёт уравнения границы этого треугнольника?

[AD]

arqady писал(а):

А как на счёт уравнения границы этого треугнольника?

Достаточно прибавить к полученному уравнению сумму квадратов уравнений сторон.

[arqady]

AD писал(а):

arqady писал(а):

А как на счёт уравнения границы этого треугнольника?

Достаточно прибавить к полученному уравнению сумму квадратов уравнений сторон.

A Вы напишите уравнение, тогда будет о чём говорить.

[AD]

Да ну ... Понятно, что оно существует ...
И вообще, публиковать полные решения нехорошо

[arqady]

АД, оставим это. Я Вам верю. Конечно, Вы решите эту задачу!

[TOTAL]

Вот граница

$$\left(\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x-2)^2+y^2}-\sqrt{(2-1)^2+(0-0)^2}\right)(\cdots)(\cdots)=0$$

[10110111]

Извиняюсь за некропостинг, но как можно доказать, что это уравнение

$$|2-2y-x|+|y|+|x+y-1|=1$$

действительно задаёт треугольник? Я попытался построить DensityPlot левой части, действительно получился треугольник... Выглядит уравнение интуитивно понятно, но как это строго доказать?

[ewert]

10110111 в сообщении #474478 писал(а):

Выглядит уравнение интуитивно понятно, но как это строго доказать?

Вообще говоря, это морока. Надо нарисовать три прямых, на каждой из которых один из модулей обращается в ноль и которые делят плоскость на семь частей, и раскрывать модули в каждой из этих частей отдельно.

Но если уж мы знаем, что ответом должен быть треугольник, притом сплошной треугольник, а не только его контур, то всё очень сильно упрощается. Функция $z(x,y)=|2-2y-x|+|y|+|x+y-1|-1$ линейна на любом из участков разбиения плоскости теми линиями. Поэтому чтобы доказать, что эта функция тождественно равна нулю внутри треугольника (и на его границе), достаточно проверить, что она равна нулю в вершинах треугольника, т.е. в точках $(0;1)$, $(1;0)$ и $(2;0)$. Ну это очевидно.

А снаружи эта функция положительна (т.е. там исходное равенство для $x$ и $y$ не выполняется), поскольку поверхность в пространстве, задаваемая уравнением $z=|2-2y-x|+|y|+|x+y-1|-1$, представляет собой выпуклый многогранник.

Или если не нравится выпуклость, то можно так. На любом из участков плоскости, смежным с одной из сторон треугольника, тождество $z(x,y)\equiv0$ нарушается просто потому, что при переходе через эту сторону один из модулей раскрывается по-другому, чем внутри треугольника, а два других -- так же, как и раньше. При этом нарушается оно в положительную сторону -- ведь на любом из шести лучей тех трёх прямых, уходящих из вершины треугольника в сторону бесконечности, функция может уходить только на плюс бесконечность, но никак не на минус (модули-то всё-таки неотрицательны). А тогда и внутри каждого из трёх углов, ограниченного одной из пар этих лучей, функция тоже положительна, раз она положительна на границе этого угла. Итого -- она положительна всюду, кроме треугольника.

[10110111]

Всё, понял. Спасибо.

[Roman Voznyuk]

Евгеша в сообщении #149313 писал(а):

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, с решением одной геометрической задачи:
На плоскости задан треугольник (координаты вершин). Найти его уравнение в виде F(x,y)=0.

P.S. под треугольником понимается область, ограниченная треугольником, включая его самого. Как это записать в виде уравнения до меня не доходит :(

R-функции вам в помощь. Прямая, проходащая через сторону треугольника, разбивает плоскоть на две части: в одной лежит искомый треугольник. Составьте неявные уравнения сторон треугольника с таким расчетом, чтобы точки со стороны содержщей треугольник давали положительные значения.
Далее возьмите минимум из трех таких уравнений сторон, это и будет вашим искомым уравнением треугольника, которое к тому же позволяет определить, лежит ли точка внутри треугольника или снаружи.

[10110111]

Roman Voznyuk в сообщении #475124 писал(а):

R-функции вам в помощь. Прямая, проходащая через сторону треугольника, разбивает плоскоть на две части: в одной лежит искомый треугольник. Составьте неявные уравнения сторон треугольника с таким расчетом, чтобы точки со стороны содержщей треугольник давали положительные значения.
Далее возьмите минимум из трех таких уравнений сторон, это и будет вашим искомым уравнением треугольника, которое к тому же позволяет определить, лежит ли точка внутри треугольника или снаружи.

Пффф... а две страницы обсуждения и даты постов, какбе, читать не надо ;)