Ряд с натуральным логарифмом

[Kataeva_M]

Здраствуйте, возникли большие сложности с заданием
Исследовать сходимость ряда: $\sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot\ln(\frac{n^2+n-1}{n^2+n})$
Пыталась решать признаком Д'аламбера, но это не принесло никаких результатов. Предположить сходится он или нет - не могу. Нашла предел $\lim\limits_{x\to\infty}n\cdot\ln(\frac{n^2+n-1}{n^2+n})$, он получился равным 0, значит необходимое условие сходимости выполняется.
Далее не понятно что предпринять.
Посоветуйте, пожалуйста, что же делать дальше?

Lia: Название темы изменено без согласования с автором на более подходящее.

[alisa-lebovski]

Надо использовать $\ln(1+x)\sim x$, $x\to 0$.

[Kataeva_M]

alisa-lebovski

Спасибо большое!

[Kataeva_M]

Признак Д'аламбера дал 1:
$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(n+1)\cdot\ln(\frac{n^2+3n+1}{n^2+3n+2})}{n\cdot\ln(\frac{n^2+n-1}{n^2+n})} = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{(n+1)\cdot\ln(1+\frac{-1}{n^2+3n+2})}{n\cdot\ln(1+\frac{-1}{n^2+n})} = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{(n+1)\cdot\frac{-1}{n^2+3n+2}}{n\cdot\frac{-1}{n^2+n}} = \lim\limits_{x\to\infty}\frac{(n+1)\cdot(n^2+n)}{n\cdot(n^2+3n+2)} = 1$

Признак Коши тоже:
$\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{n\cdot\ln\frac{(n^2+n-1)}{n^2+n}} = \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{n\cdot\frac{-1}{n^2+n}} = \lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{\frac{-1}{n+1}} = (\frac{-1}{n+1})^{1/n} = 0^0 = 1$

Не знаю что ещё предпринять, посоветуйте, пожалуйста каким признаком можно здесь воспользоваться?

[Lia]

Kataeva_M
Вам уже посоветовали выше. Кроме этих двух признаков Вы что еще знаете? Где эквивалентность используется?
(Признаками Коши и Даламбера, кстати, Вы пользуетесь неправильно, но они и не помогут даже при правильном использовании.)

[Kataeva_M]

Насколько я понимаю, такой эквивалентностью мы можем воспользоваться только в пределах, в частности доказывая что общий член ряда стремится к 0, а также признаком сравнения в предельной форме (в таком случае непонятно, какой же ряд взять для сравнения)

[Lia]

Kataeva_M
А в предельной форме признаком как пользоваться? Вот этим?

Kataeva_M в сообщении #1494476 писал(а):

а также признаком сравнения в предельной форме

Сформулировать можете?

[Kataeva_M]

Если я правильно понимаю, то так:
пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n , \sum\limits_{n=1}^\infty b_n$, где $a_n \geqslant 0$ , $b_n \geqslant 0$
тогда если $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = k, k \in (0, \infty)$, то оба ряда либо сходятся, либо расходятся

[alisa-lebovski]

Прежде всего, у Вас отрицательные слагаемые, так что надо их взять с обратным знаком. Потом найти асимптотику и сравнить с рядом, про который известно, сходится он или нет.

[novichok2018]

Можно попробовать чуть подправить общий член на эквивалентный, чтобы закрутился калейдоскоп и явно посчиталась частичная сумма. Получится?

[novichok2018]

Вроде ряд с общим членом

$$ n\ln(\left 1+\frac{1}{n^2+n-1})\right $$

штатно сравнивается с гармоническим по признаку сравнения.