Усиленный закон больших чисел

[zenitsu_kata]

Спасибо Вам большое! Это выглядит изящно, но ряд в скобках сходится при $\varepsilon>1$ (в Wolfram Alpha). Меня это смутило, попытался с помощью признаков сходимости рядов получить сходимость, но не вышло... Но если воспользоваться предельной теоремой сравнения, то у меня получилось, что этот ряд в скобках имеет такую же сходимость как и ряд $\sum\limits_{}^{}\frac{1}{k^\varepsilon}$. Не знаю правда, насколько это законно.

Извините, пожалуйста, но не подскажете ли Вы, что позволило нам представить этот ряд в скобках через О-символику в таком виде? Не могу вот так взять и обойти этот момент :)

[alisa-lebovski]

$$\begin{array}{c}\displaystyle \frac{1}{k^\varepsilon}-\frac{k}{(k+1)^{1+\varepsilon}}=\frac{1}{k^\varepsilon}\left(1-\left(\frac{k}{k+1}\right)^{1+\varepsilon}\right)=\frac{1}{k^\varepsilon}\left(1-\left(1+\frac{1}{k}\right)^{-(1+\varepsilon)}\right)=\\ \displaystyle =\frac{1}{k^\varepsilon}\left(\frac{1+\varepsilon}{k}+o\left(\frac{1}{k}\right)\right)= \frac{(1+\varepsilon)(1+o(1))}{k^{1+\varepsilon}}\end{array}$$

[zenitsu_kata]

Спасибо большое, уважаемая alisa-lebovski! Все предельно ясно!