Усиленный закон больших чисел

[zenitsu_kata]

Здравствуйте, уважаемые! Возникла проблема с решением задачи на доказательство:

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, ...$ - последовательность независимых случайных величин, такая, что

$$\mathbf{E}\xi_{n}=0, \ \ \left\lvert\frac{\xi_{n}}{n}\right\rvert \le C, \ \ n=1,2,...$$

где C - некоторая постоянная, и пусть

$$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\xi_{i} \\\ \to \\\ 0 , \ \ \ n \to \infty$$

почти наверное (п.н). Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ :

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbf{D}\xi_{n}}{n^{2+\varepsilon}}<\infty$$

Итак, изложу то, что я смог сделать и на что хватило ума:
1) Глядя на условия, сразу вижу, что для этой последовательности независимых случайных величин выполняется УЗБЧ по Колмогорову:

$$\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\xi_{i} \\\ \to \\\ a \ \ (p.n)\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \mathbf{E}\xi_{n}=a$$

2) Думал над следующим: можем ли мы сказать, что поскольку наша последовательность подчиняется УЗБЧ, то автоматически выполняется необходимое и достаточное условие про ограниченность ряда - (дисперсия)/(n^2)? (Теорема Колмогорова). Или все же нужно доказывать это?
3) Не понимая, за какие теоремы/леммы цепляться дальше, решил посчитать оценку "в лоб", пользуясь условиями и свойствами дисперсии и мат.ожидания($\mathbf{D}\xi_{n}=\mathbf{E}\xi^2_{n}-(\mathbf{E}\xi_{n})^2, \ \ \xi^2_{n} \le n^2C^2, \ \ \mathbf{E}(a)=a$) :

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbf{D}\xi_{n}}{n^{2+\varepsilon}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbf{E}\xi^2_{n}}{n^{2+\varepsilon}} \le \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\mathbf{E}(n^2C^2)}{n^{2+\varepsilon}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2C^2}{n^2n^{\varepsilon}}=C^2\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\varepsilon}}$$

Как видно, это известный ряд, и он сходится только при $\varepsilon>1$, а значит только при этих значениях $\varepsilon$ будет ограничена сумма ряда, что не удовлетворяет нашему условию.

Понятно, что задача так не решается, слишком уж просто. У меня могут быть грубые ошибки в понимании задачи, почему-то подумал сразу как то оттолкнуться от Теоремы Колмогорова, но и тут я не продвинулся. Честно говоря, идей нет, несколько дней изучения всех возможных учебников мне не помогли. Но искренне хочу разобраться.

Прошу Вас, помогите, пожалуйста, разобраться с этой задачей и понять её! Заранее благодарю всех за будущие ответы!

[alisa-lebovski]

Из УЗБЧ следует, что $\xi_n/n\to 0$ почти наверное, что сильнее |\xi_n/n|\le C$. Попробуйте это использовать.

[zenitsu_kata]

alisa-lebovski в сообщении #1491902 писал(а):

Из УЗБЧ следует, что $\xi_n/n\to 0$ почти наверное, что сильнее |\xi_n/n|\le C$. Попробуйте это использовать.

Разве так можно?
В условии же написано, что $|\xi_n/n|\le C$ для каждого n-ого элемента последовательности отдельно, т.е. по-другому это условие можно записать как систему неравенств: $\{|\xi_1/1|\le C, \ \ |\xi_2/2|\le C, \ \ ...\}$. То есть, как я понял, тут имеется ввиду типа "равномерное" (?) или "одинаковое" распределение случайных величин.

А из УЗБЧ следует, что $\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\xi_{n} \ \to \ 0$ (п.н), т.е есть сумма всех элементов последовательности, деленная на число всех её элементов, будет стремится к нулю. Но никак не каждый элемент последовательности, деленный на свой номер.

То есть, как мне кажется, вряд ли, можно считать те два выражения, которые Вы написали, похожими друг на друга. К тому же зачем в такой задаче делать два условия, одним из которых можно было бы не пользоваться.

Но если я Вас НЕправильно понял, то не вижу, как нам это пригодится, даже если вынести обозначение дисперсии за знак суммы ряда.
Спасибо за ответ!

[alisa-lebovski]

zenitsu_kata в сообщении #1491911 писал(а):

То есть, как я понял, тут имеется ввиду типа "равномерное" (?) или "одинаковое" распределение случайных величин.

Нет, распределение не равномерное и не одинаковое, оно у всех $\xi_n/n$ разное, общее у них только то, что сосредоточено на $[-C,C]$.

zenitsu_kata в сообщении #1491911 писал(а):

А из УЗБЧ следует, что $\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\xi_{n} \ \to \ 0$ (п.н), т.е есть сумма всех элементов последовательности, деленная на число всех её элементов, будет стремится к нулю. Но никак не каждый элемент последовательности, деленный на свой номер.

Да неужели? А если так:

$$\frac{\xi_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\xi_n-\frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}\xi_i.$$

zenitsu_kata в сообщении #1491911 писал(а):

то не вижу, как нам это пригодится, даже если вынести обозначение дисперсии за знак суммы ряда.

Раз $\xi_n/n\to 0$ п.н. и $|\xi_n/n|\le C$, то дисперсия $\xi_n/n$ не просто ограничена $C^2$, а стремится к нулю некоторым образом. Надо продумать.

Хотя я не гарантирую, что это приведет к нужному результату.

[ShMaxG]

alisa-lebovski в сообщении #1491915 писал(а):

Раз $\xi_n/n\to 0$ п.н. и $|\xi_n/n|\le C$, то дисперсия $\xi_n/n$ не просто ограничена $C^2$, а стремится к нулю некоторым образом.

Насколько я понимаю, это ничего не дает. Другими словами, если некоторая случайная последовательность $\eta_n \to 0$ почти наверное, $|\eta_n| \le C$, $\mathbb{E}\eta_n=0$, то отсюда не следует желаемое $\mathbb{D}\eta_n=o(1/n)$, $n\to\infty$, потому что можно построить контрпримеры. В УЗБЧ все дело, а вот как им воспользоваться, не проглядывается...

[alisa-lebovski]

Жаль. А из того, что $$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\xi_i$ сходится к нулю почти наверное и при этом ограничено, не следует ли, что оно сходится и в среднем квадратическом к нулю? Может, это использовать?

[mihaild]

alisa-lebovski в сообщении #1491973 писал(а):

и при этом ограничено

У нас же даже ограниченности нет.

(тут бред написал)

alisa-lebovski в сообщении #1491973 писал(а):

не следует ли, что оно сходится и в среднем квадратическом к нулю?

Не следует. Если $\xi_k = \pm k$ с вероятностью $\frac{1}{k}$ для $k = 2^n$ и нулевое , то $\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n \xi_i$ ограничено и сходится к нулю почти наверное, а в среднеквадратичном нет.

(Оффтоп)

И вообще если бы можно было доказать сходимость в среднеквадратичном, то так и просили бы сделать, без добавления $\varepsilon$.

-- 13.11.2020, 11:20 --

alisa-lebovski в сообщении #1491973 писал(а):

не следует ли, что оно сходится и в среднем квадратическом к нулю?

Если бы была ограничена - то следовало бы. Далекие члены меньше $\frac{1}{n}$ с вероятностью $1 - \frac{1}{n}$, а если и больше - квадрат ограничен $C$, так что ожидание их квадрата не больше $\frac{C + 1}{n}$.

[alisa-lebovski]

mihaild в сообщении #1491989 писал(а):

У нас же даже ограниченности нет.

Да, я спутала, это $\xi_i/n$ ограничены, а не $\xi_i$.

(Оффтоп)

Что-то я стала такая рассеянная, такая рассеянная... (c) к/ф "Здравствуйте, я ваша тетя".

[zenitsu_kata]

Друзья, а может, нужно пользоваться определением дисперсии/матожидания через интеграл Стильтьеса? Я видел, что таким способом доказывается Теорема Колмогорова. Но опять же, не ясно, что делать с $\varepsilon$. А может нужно использовать неравенство Колмогорова? Но не вижу, как записать так, чтобы вылезла $\varepsilon$.

Мучаюсь уже неделю. Смотрю в основном в учебник Б.В. Гнеденко "Курс теории вероятностей" 1988 г.

[alisa-lebovski]

zenitsu_kata в сообщении #1492047 писал(а):

Мучаюсь уже неделю. Смотрю в основном в учебник Б.В. Гнеденко "Курс теории вероятностей" 1988 г.

Тут бы что-то покруче смотреть, например, Ширяева "Вероятность".

[alisa-lebovski]

А откуда вообще задача?

[zenitsu_kata]

alisa-lebovski в сообщении #1492055 писал(а):

zenitsu_kata в сообщении #1492047 писал(а):

Мучаюсь уже неделю. Смотрю в основном в учебник Б.В. Гнеденко "Курс теории вероятностей" 1988 г.

Тут бы что-то покруче смотреть, например, Ширяева "Вероятность".

Спасибо, посмотрю и этот учебник.

alisa-lebovski в сообщении #1492083 писал(а):

А откуда вообще задача?

Из задачника А. В. Прохоров, В. Г. Ушаков, Н. Г. Ушаков - "Задачи по теории вероятности", 1986 г.

[sup]

А что если доказать сходимость ряда

$$ \sum \frac{\xi_k}{k^{1 + \varepsilon}}. $$

Это получается, если формально переставить суммирование в двойном ряде

$$ \sum \frac{1}{n^{1 + \varepsilon}} \frac{1}{n}\sum \limits_{k \leqslant n}\xi_k. $$

Но, здесь нет абсолютной сходимости. Наверное лучше рассмотреть такой ряд

$$ \sum \limits_{n = 1}^m \left (\frac{1}{(n + 1)^{1 + \varepsilon}} - \frac{1}{n^{1 + \varepsilon}} \right )\sum \limits_{k \leqslant n}\xi_k. $$

[zenitsu_kata]

Доброго времени суток! Появилась новая информация.
Действительно, нужно сначала рассмотреть ряд

$$\sum\limits_{}^{}\frac{{\xi}_{n}}{n^{1+\varepsilon}}$$

А также необходимо воспользоваться теоремами (Колмогорова) о двух и о трёх рядах (но это неточно, возможно, какой то из них)

Но не очень понимаю, как все-таки провернуть это доказательство правильно.
Я вижу, что согласно теореме о двух рядах, поскольку $\mathbf{P}(\left\lvert {\xi}_{n}/n \right\rvert \leqslant C) = 1$, и ряд $\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\xi_n}{n}$ сходится, то и соответствующие ряды из дисперсии и математического ожидания тоже сходятся. То есть обратное утверждение становится верным благодаря этому условию ограниченности константой. Скорее всего, я неправильно мыслить начал.

Но что дальше? И как правильно доказать и задействовать сходимость ряда $\sum\limits_{}^{}\frac{{\xi}_{n}}{n^{1+\varepsilon}}?

Надеюсь на вашу помощь.

-- 25.11.2020, 19:21 --

Похоже, что нужно доказать сначала сходимость ряда $\sum\limits_{}^{}\frac{{\xi}_{n}}{n^{1+\varepsilon}}. Потом доказать сходимость дисперсии этого ряда. И потом... перемножить два ряда с дисперсией для n^(1+epsilon), и для n? И поскольку они оба сходятся, то и их произведение будет сходится? В этом есть смысл? Скажите, пожалуйста

[alisa-lebovski]

Пусть

$$\eta_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k,$$

тогда $\xi_n=n\eta_n-(n-1)\eta_{n-1},$ откуда

$$\nu_n=\sum_{k=1}^n\frac{\xi_k}{k^{1+\varepsilon}}=\sum_{k=1}^n\frac{k\eta_k-(k-1)\eta_{k-1}}{k^{1+\varepsilon}}=\frac{\eta_n}{n^\varepsilon}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k^\varepsilon}-\frac{k}{(k+1)^{1+\varepsilon}}\right)\eta_k.$$

Выражение в скобках $O(1/k^{1+\varepsilon})$, ряд из них сходится. По лемме Тёплица из $\eta_n\to 0$ следует $\nu_n\to 0$. Дальше теорема о двух рядах.

P.S. Решила не сама, подсказали.

P.P.S. В принципе, это задача на Ширяева "Вероятность-2", глава IV, параграфы 2 и 3.