Пересечение двух траекторий, лежащих внутри сектора

[Alexander Frumkin]

В какой публикации доказывается следующее утверждение?

Пусть $e_1$ и $e_2$ образуют базис $R^2$, $T_1>0$, $T_2>0$ и

\begin{center} $x_1 : [0,T_1]\rightarrow R^2$ , \quad \quad $x_2 : [0,T_2]\rightarrow R^2$ \end{center}

- непрерывные функции (движения) удовлетворяющие следующим условиям.

1) Начальная точка каждого движения лежит на луче, порожденном вектором $e_1$,
и начальная точка первого движения лежит дальше от нуля, чем начальная точка второго движения:

\begin{center} $ x_1(0)= \alpha_1 \cdot e_1, \quad x_2(0)= \alpha_2 \cdot e_1, \quad \text{и} \quad \alpha_1>\alpha_2>0 $. \end{center}

2) Конечная точка каждого движения лежит на луче, порожденном вектором $e_2$,
и конечная точка второго движения лежит дальше от нуля, чем конечная точка первого движения:

\begin{center} $ x_1(T_1)= \beta_1 \cdot e_2, \quad x_2(T_2)= \beta_2 \cdot e_2, \quad \text{и} \quad \beta_2>\beta_1>0 $. \end{center}


3) Траектории обоих движений лежат внутри сектора, порожденного векторами $e_1$, $e_2$:

\begin{center} $ \forall t \in (0,T_1) \quad \xi_1(e,x_1(t)) > 0 \quad \wedge \quad \xi_2(e,x_1(t))>0 $, $ \forall t \in (0,T_2) \quad \xi_1(e,x_2(t)) > 0 \quad \wedge \quad \xi_2(e,x_2(t))>0 $. \end{center}

Здесь $ \xi_1(e,\cdot)$ и $ \xi_2(e,\cdot)$ обозначают координатные функции для базиса $e=(e_1,e_2)$.

Тогда существуют такие моменты $t_1$ и $t_2$, что $x_1(t_1)=x_2(t_2)$,
то есть траектории движений пересекаются.

Предпочтительно элементарное доказательство.

Предположительно, доказательство можно провести последовательным делением некоторого начального треугольника, в котором лежат обе траектории и соответствующим выделением фрагментов траекторий, но этот путь оказывается громоздким.

Во вводном примере книги В. И. Арнольда "Обыкновенные дифференциальные уравнения" используется как очевидное такое утверждение.
Пусть в квадрате $ABCD$ кривая $L_1$ соединяет вершины $A$ и $C$, а кривая $L_2$ соединяет вершины $B$ и $D$. Если кривые линии полностью лежат в квадрате, то они пересекаются.
Это утверждение взаимосвязано с исходным утверждением сообщения. Мне кажется, что оба утверждения строго доказаны давно, в начале 20 века, когда решались первые топологические задачи. Но в доступных мне книгах по геометрии и топологии этих задач нет. Может быть на форуме мне что-то подскажут. Заранее благодарю.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны не формулы;
- отсутствуют собственные содержательные попытки ответа на вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

Alexander Frumkin в сообщении #1493643 писал(а):

Мне кажется, что оба утверждения строго доказаны давно

В первое утверждение я не вникал, а второе тривиально следует из теоремы Жордана. Возьмите ту дугу, которая соединяет точки $A$ и $C$, и дополните её двумя отрезками, обходящими вне квадрата, например, точку $D$, чтобы получить замкнутую кривую.

[Alexander Frumkin]

Благодарю участника форума Someone за отклик на мое сообщение.
Мне кажется, что использовать теорему Жордана для решения описанных задач неестественно.
Во-первых, формулировка теоремы Жордана не содержит в себе никаких критериев классификации точек плоскости на внутренние и внешние по отношению к кривой, и нужно дополнительно доказать, что точка $B$ лежит в одной компоненте связности, а точка $D$ – в другой.
Во-вторых доказательство теоремы Жордана в любом варианте сложное. Предполагаю, что доказательство предложенных утверждений должно быть существенно проще. Поэтому мне кажется что более естественно, использовать эти утверждения при доказательстве теоремы Жордана.