Способ измерения отношения заряда к массе

[profilescit]

A cathode ray tube (CRT), consisting of an electron gun and a screen, is placed within a uniform constant magnetic field of magnitude $B$ such that the magnetic field is parallel to the beam axis of the gun, as shown in figure 2.1.


The electron beam emerges from the anode of the electron gun on the axis, but with a divergence of up to 5° from the axis, as illustrated in figure 2.2. In general a diffuse spot is produced on the screen, but for certain values of the magnetic field a sharply focused spot is obtained.


By considering the motion of an electron initially moving at an angle $\beta$ (where $0 < \beta < 5°$) to the axis as it leaves the electron gun, and considering the components of its motion parallel and perpendicular to the axis, derive an expression for the charge to mass ratio e/m for the electron in terms of the following quantities:

the smallest magnetic field for which a focused spot is obtained, B

the accelerating potential difference across the electron gun V (note that$ V < 2 kV$),

D, the distance between the anode and the screen.

Их решение:
Фокус происходит после одной циклотронной орбиты.
Угловая скорость $\omega = \frac{e B}{m}$; ф значит время одной орбиты $T=\frac{2 \pi m}{eB}$
скорость электрона $ u = \sqrt{\frac{2 e V}{m}}$
пройденное расстояние $ D=T u \cos{\beta} \approx T u = (\sqrt{8} \pi /B)\sqrt{V m/e}$
а значит $e/m = 8 V (\pi / B D)^2$

Я считаю ошибочным считать что электрон движется с постоянной скоростью, ведь под действием разности потенциала он ускоряется на протяжении всего пути.

Мое решение: $\vec{F} = e [ \vec{v} \times \vec{B} + \vec{E}]$
Пусть $\vec{B}$ направлен как $\vec{i}$ (стандартные ортогональные векторы)
Тогда $\vec{v} = v \cos{\beta} \vec{i} + v \sin{\beta} \vec{j}$
И $\vec{E} = \frac{V}{D} \vec{i}$

В таком случае, сила $\vec{F} = \frac{e V}{D} \vec{i} - v \sin{\beta} B \vec{k}$
$\vec{k}$ компонента силы генерирует циклотронное движение.
Период циклотронной орбиты равен времени необходимому для прохождения расстояние $D$ в направлении $\vec{i}$

$\vec{i}$ компонента ускорения $a = \frac{e V}{m D}$ и начальная скорость $v \cos{\beta}$
$D = v \cos{\beta} t + \frac{e V}{2 m D} t^2$

из чего находим время

$ t = \frac{-v\cos{\beta} + \sqrt{(v \cos{\beta})^2 + \frac{2 e V}{m D}}}{\frac{e V}{m D}}$

$\frac{q B}{m} = \frac{2 \pi}{t}$

Отсюда, после алгебраических манипуляций, получаем $\frac{e}{m} = \frac{\pi}{D B} (\frac{2 \pi V}{D B} + 2 v \cos{\beta})$

Если мой подход верный, почему в официальном решении они сделали такие допущения? Являются ли они правильными?
Если мой подход неверный, где моя ошибка?

[artur_k]

profilescit в сообщении #1493943 писал(а):

Я считаю ошибочным считать что электрон движется с постоянной скоростью, ведь под действием разности потенциала он ускоряется на протяжении всего пути.

Вы ошибаетесь, разгоняет электрон разность потенциала между анодом и катодом в электронной пушке. А D - расстояние между анодом и экраном, т.е. уже вне разгоняющего потенциала.