Предел при х->oo

[Padawan]

Lia в сообщении #1493590 писал(а):

bigredcat в сообщении #1493589

писал(а):
$2^t=(1+1)^t=1+t+t(t-1)/2+...$
Ой, нет, только не это. Вы же банально не сможете показать, при каких $t$

Да просто

$$ 2^t>2^{[t]}>1+[t]+[t]([t]-1)/2 $$

и $t\sim [t]$ при $t\to+\infty$ (квадратные скобки - целая часть числа)

[Lia]

Padawan
Неравенство - да, просто. Я тоже предлагала.

[ewert]

TOTAL в сообщении #1493695 писал(а):

А вот так
$ \lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{lnx^2}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x} \frac{2}{x} $

И что? Предположим, что первый предел бесконечен. И что?

(это примерно как с пределом $\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}$: элементарными средствами его можно вычислить, но нельзя доказать его существования)

Brukvalub в сообщении #1493674 писал(а):

1. Функция $f(t)=\frac{t}{e^t}$ - ограниченная при $t>0$

Это надо доказывать.

Brukvalub в сообщении #1493674 писал(а):

2. Из ограниченности легко вытекает критерий Коши существования предела $\lim_{t \to +\infty} f(t)=a.$

А если п.1 всё же верен, то он по тем же причинам верен и для любого основания вместо $e$, и тогда никакой критерий Коши не нужен.

Вообще когда речь идёт о стремлении именно к нулю (или к бесконечности), критерий Коши обычно излишен. Вообще никакой вариант аксиомы полноты не нужен -- и, следовательно, его использование неэстетично.

-- Вс ноя 22, 2020 13:52:49 --

Padawan в сообщении #1493697 писал(а):

Да просто

$$ 2^t>2^{[t]}>1+[t]+[t]([t]-1)/2 $$

Вообще-то сложновато. Поскольку $2<e$, достаточно простого неравенства $2^n>n$, которое легко угадывается и затем очевидным образом доказывается по индукции.

[TOTAL]

ewert в сообщении #1493718 писал(а):

TOTAL в сообщении #1493695 писал(а):

А вот так
$ \lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{lnx^2}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x} \frac{2}{x} $

И что? Предположим, что первый предел бесконечен. И что?

Сначала докажем, что он ограничен (чтобы не предполагать, что он бесконечен).

[ewert]

TOTAL в сообщении #1493721 писал(а):

Сначала докажем, что он ограничен (чтобы не предполагать, что он бесконечен).

Так это ведь ключевой момент -- что логарифм как минимум не превосходит степени. Дальше можно уже как угодно.

Ладно, вот самое простое доказательство, не требующее никакой изобретательности. Никто не сомневается, что при $q>1$ геометрическая прогрессия $q^n$ растёт быстрее любой арифметической прогрессии; вопрос лишь, как это доказать формально. Ну так начнём с того, что она не меньше какой-нибудь арифметической прогрессии. Такая прогрессия легко угадывается: $q^n\geqslant a_n=1+nd$, где $d=q-1$.

Отсюда, между прочим, следует, что $q^n\to+\infty$ (т.е. именно отсюда это следует автоматически; лобовое доказательство потребовало бы хоть какой-то, но казуистики). Соответственно, если $|q|<1$, то $q^n\to0$.

Теперь из $\frac{1+nd}{q^n}\leqslant1$ следует $\frac{n}{q^n}\leqslant\mathrm{const}$ (где $\mathrm{const}=\frac1d$, но это не важно). Откуда, между прочим, геометрическая прогрессия действительно оценивается снизу через любую арифметическую, но нам даже и это тоже не нужно.

Однако если оценка есть для любого $q>1$, то она есть и для какого-нибудь $p\in(1;q)$ (неважно, какого; скажем, $p=\frac{1+p}2$). Тогда $\frac{n}{q^n}=\frac{n}{p^n}\cdot(\frac{p}q)^n\leqslant\mathrm{const}\cdot(\frac{p}q)^n\to0$.

(Т.е. это утверждение относится к разряду тех, доказательство которых существенно упрощается после обобщения формулировки.)

[bigredcat]

Lia в сообщении #1493595 писал(а):

bigredcat в сообщении #1493593 писал(а):

Пусть $t$ целое. Это ничего не меняет.

Это не всегда ничего не меняет. Почему это ничего не меняет сейчас?
В общем, аккуратней надо. А так - почему и нет.

Ну вот, ребята и это доказали. А вообще, математика не формализуема. Гёдель.

-- 22.11.2020, 15:29 --

TOTAL в сообщении #1493695 писал(а):

А вот так
$ \lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{lnx^2}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x} \frac{2}{x} $

Нравится мне ваше решение. То, что $\ln(x)<x$ тоже надо доказать?

[ewert]

bigredcat в сообщении #1493737 писал(а):

То, что $\ln(x)<x$ тоже надо доказать?

Увы, надо.

[Lia]

bigredcat в сообщении #1493737 писал(а):

Ну вот, ребята и это доказали.

Ну да, ребят подождать проще.

[TOTAL]

(Оффтоп)

Schwarte в сообщении #1493490 писал(а):

По правилу Лопиталя это сделать элементарно, однако им пользоваться запрещено.

По правилу формулы Тейлора быстрее делайте (пока и на неё запрет не наложен).