Предел при х->oo

[Schwarte]

Здраствуйте, помогите пожалуйста разобраться!
Необходимо вычислить предел $ \lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x} $. По правилу Лопиталя это сделать элементарно, однако им пользоваться запрещено.
Пыталась воспользоваться свойством предела и получила $ \lim_{x\to\infty}\ln(x^{\frac{1}{x}}) $. В скобках получилась бесконечность в степени 0 и дальше я понимаю что делать.
Правильным путём ли я пошла, если так что что мне предпринять дальше, или через какое другое правило или свойство мне пойти?

[kotenok gav]

Правильным. $\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[x] x=1$.

[Schwarte]

Спасибо большое!

[Lia]

kotenok gav
Корни при нецелых показателях не определяются.

-- 20.11.2020, 22:04 --

Schwarte
А какими средствами Вы владеете вообще? Может, Вам про сравнительную асимптотику функций на бесконечности рассказывали?

[Schwarte]

Lia
Про сравнительную асимптотику функций пока что ничего не рассказывали.
По сути, задание было сравнить порядок роста функций ln x и x. На практиках это делали, рассматривая предел отношения функций. Про пределы: здесь директивно запрещено использовать правило Лопиталя, так как задание будет тривиальным. Других ограничений по использованию свойств или правил нет.

[Lia]

Если у Вас был нужный предел (тот, что внутри логарифма организуется) - используйте его, если нет (а так обычно и бывает), почитайте Зорича, глава 3, параграф 2, пример 28 и далее. И состряпайте из этого все, что Вам нужно.

[Schwarte]

Lia
Спасибо большое!

[ewert]

Только пример не 28, а 22, который, в свою очередь, базируется на примере 11 из первого параграфа той же главы. Доказательства у Зорича там хорошие (вполне элементарные и безо всяких корней), только чересчур уж изысканные. В 22-м ссылка на милиционеров лишь запудривает мозги -- достаточно оценки лишь с одной стороны, притом сразу на языке $\varepsilon\;-\;N$. В 11-м тоже лучше действовать гораздо грубее: совершенно элементарно любая геометрическая прогрессия растёт не медленнее некоторой арифметической прогрессии -- а значит, и быстрее любой арифметической.

[Lia]

ewert в сообщении #1493543 писал(а):

Только пример не 28, а 22,

Точно. Это я не долистала, по своей привычке читать с конца.
Ну, может, ТС сама нашла.

[bigredcat]

Замена $x=e^t$. Предел преобразуется в $\lim\limits_{t\to\infty}^{}\frac{t}{e^t}$. Очевидно, что это ноль.
Ну, если не очевидно
$e^t > 2^t$
$2^t=(1+1)^t=1+t+t(t-1)/2+...$

[Lia]

bigredcat в сообщении #1493589 писал(а):

Очевидно, что это ноль.

Математиков учат: все, что очевидно, можно доказать.
Кстати, обычно это труднее всего, доказывать очевидное.

Понятно, что обосновать значение исходного предела и этого - одна и та же задача.

-- 21.11.2020, 20:03 --

bigredcat в сообщении #1493589 писал(а):

$2^t=(1+1)^t=1+t+t(t-1)/2+...$

Ой, нет, только не это. Вы же банально не сможете показать, при каких $t$ разложение справа сходится. Или сможете?
Проще уж оценить экспоненту квадратом снизу, но тоже обосновать. Ну или что-то такое.

[bigredcat]

Lia в сообщении #1493590 писал(а):

Ой, нет, только не это. Вы же банально не сможете показать, при каких $t$ разложение справа сходится. Или сможете?
Проще уж оценить экспоненту квадратом снизу, но тоже обосновать. Ну или что-то такое.

Пусть $t$ целое. Это ничего не меняет. Тогда это элементарный бином Ньютона.

[Lia]

bigredcat в сообщении #1493593 писал(а):

Пусть $t$ целое. Это ничего не меняет.

Это не всегда ничего не меняет. Почему это ничего не меняет сейчас?
В общем, аккуратней надо. А так - почему и нет.

[Brukvalub]

Можно так:
1. Функция $f(t)=\frac{t}{e^t}$ - ограниченная при $t>0.$
2. Из ограниченности легко вытекает критерий Коши существования предела $\lim_{t \to +\infty} f(t)=a.$
3. Тогда и $\lim_{t \to +\infty} f(t+1)=a,$ откуда сразу следует, что $a=0.$

[TOTAL]

А вот так
$ \lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{lnx^2}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{lnx}{x} \frac{2}{x} $