Символ "бесконечность" и действительные числа

[Ivan_B]

Подскажите, пожалуйста, о чем это. Где можно почитать.

Халмош. Теория меры. стр 11 писал(а):

Для понимания первых семи глав этой книги требуется только знакомство с элементарной алгеброй и началами математического анализа. В частности, читателю должны быть известны следующие понятия и факты.
...
6. Символы $+\infty$ и $-\infty$; алгебраические соотношения между ними и произвольным действительным числом:
$(\pm\infty)+(\pm\infty)=x+(\pm\infty)=(\pm\infty)+x=(\pm\infty)$
...

Была подобная тема https://dxdy.ru/topic143373.html, но там автору намекнули на бессмысленность его вопроса, потом на пределы, потом, возможно, на то, что мне нужно, но я не уверен, и хотелось бы знать где читать.

[vpb]

Ivan_B в сообщении #1493682 писал(а):

Где можно почитать.

Может быть, конкретно на соотношениях типа $(+\infty)+x=+\infty$ внимание нигде и не акцентируется, т.е. где можно найти именно буквально такую формулу, не знаю. А по существу понятно: если есть две переменных величины (последовательности или функции), одна из них стремится к $+\infty$, а вторая к конечному числу, то их сумма будет стремиться к $+\infty$. И другие утверждения того же типа. См. любой учебник матанализа, например Фихтенгольца. Даже, наверное, и в учебник можно особо не смотреть: понятно же, что если есть два числа, одно из них --- очень большое положительное, а второе --- более-менее ограниченное, (и не важно, положительное или отрицательное), то сумма этих двух чисел --- очень большое положительное.

Иной раз поступают более формально, а именно рассматривают множество ${\mathbb R}\cup\{-\infty, +\infty\}$, и четко выписывают, как мы определяем арифметические операции на этом множестве. (При этом операции оказываются не всюду определены, скажем, $(+\infty)+(-\infty)$ не определено. Ну так это не новость: и в ${\mathbb R}$ операции не всегда определены (еще в младших классах учат, что "на ноль делить нельзя !").

Короче, насчет "где почитать" ответ такой: самому для себя прояснить вопрос собственным размышлением, при желании заглядывая в учебник матанализа.

[Ivan_B]

Меня смущает формулировка "алгебраические соотношения между ними". То есть символы $\pm\infty$ являются не формой записи, а элементами множества в котором определена операция $+$. Мне интересно что написано в книге в строгом смысле.

vpb в сообщении #1493685 писал(а):

Иной раз поступают более формально, а именно рассматривают множество ${\mathbb R}\cup\{-\infty, +\infty\}$, и четко выписывают, как мы определяем арифметические операции на этом множестве. (При этом операции оказываются не всюду определены, скажем, $(+\infty)+(-\infty)$ не определено. Ну так это не новость: и в ${\mathbb R}$ операции не всегда определены (еще в младших классах учат, что "на ноль делить нельзя !").

То, что делить на ноль нельзя(отсутствие обратного элемента для $0$) часть определения поля. А вот как быть с существованием противоположного элемента для $-\infty$, без него это не абелева группа относительно $+$, и по цепочке не кольцо и не поле. Последствия этого я себе представить не могу.

[vpb]

А, вот пример из некоей специальной книги (Р.Рокафеллар, Выпуклый анализ, если что. Но к Вашим нуждам она отношения не имеет), где для четкости изложения правила оперирования с этими символами выписываются явно.

Р. Рокафеллар писал(а):

... Тот способ, который мы избрали, приводит к необходимости ввести правила оперирования с символами $\pm\infty$. Принятые ниже правила предствляются очевидными:
$\alpha+\infty = \infty+\alpha=\infty$ для $-\infty<\alpha\leq\infty$,
$\alpha-\infty = -\infty+\alpha=-\infty$ для $-\infty\leq \alpha<\infty$,
$\alpha\infty=\infty\alpha=\infty$, $\alpha(-\infty)=(-\infty)\alpha=-\infty$ для $0<\alpha\leq\infty$,
$\alpha\infty=\infty\alpha=-\infty$, $\alpha(-\infty)=(-\infty)\alpha=\infty$ для $-\infty\leq\alpha<0$,
$0\cdot\infty=\infty\cdot0=0=0(-\infty)=(-\infty)0$, $-(-\infty)=\infty$,
$\inf\emptyset=+\infty$, $\sup\emptyset=-\infty$.

Сочетания $\infty-\infty$ и $-\infty+\infty$ считаются не имеющими смысла.

В силу введенных нами правил обычные законы арифметики
$\alpha_1+\alpha_2=\alpha_2+\alpha_1$, $(\alpha_1+\alpha_2)+\alpha_3=\alpha_1+(\alpha_2+\alpha_3)$,
$\alpha_1\alpha_2=\alpha_2\alpha_1$, $(\alpha_1\alpha_2)\alpha_3=\alpha_1(\alpha_2\alpha_3)$,
$\alpha(\alpha_1+\alpha_2)=\alpha\alpha_1+\alpha\alpha_2$
остаются справедливыми вне зависимости от того, конечные или бесконечные значения подставлять вместо букв, если только при этом не встречаются комбинации $\infty-\infty$ или $-\infty+\infty$. В этом можно убедиться непосредственно, подставив во все формулы различные сочетания конечных и бесконечных символов.

(стр.40, 41 указанной книжки).

Два замечания по этому отрывку. 1) В этой книжке часто пишется $\infty$, имея в виду $+\infty$. Но "беззнаковых" бесконечностей в этой теории не встречается.
2)Несколько смущает правило $0\infty=0$. Но для целей той теории, которая в книжке развивается, оно годится.

[vpb]

Ivan_B в сообщении #1493692 писал(а):

Последствия этого я себе представить не могу.

Уверяю Вас, что для понимания книжки это не будет иметь последствий.

Более существенно вот что. Халмош считается классиком и мастером математического изложения. Но вот у меня на этот счет другое мнение. Я его книг не читал (за исключением известной статьи "Как писать матемтические тексты"), но кой в какие заглядывал. Короче: начинающему его книги не подойдут, это абсолютно исключено.

-- 22.11.2020, 09:25 --

vpb в сообщении #1493699 писал(а):

начинающему его книги не подойдут, это абсолютно исключено.

Может быть, некоторым особо умным частично пойдут "Конечномерные векторные пространства" ... но это тоже большие сомнения есть.

[Ivan_B]

vpb в сообщении #1493699 писал(а):

Уверяю Вас, что для понимания книжки это не будет иметь последствий.

Спасибо! На этом мой исходный вопрос можно считать исчерпанным.

vpb в сообщении #1493699 писал(а):

Короче: начинающему его книги не подойдут, это абсолютно исключено.

Тут тогда вопрос а какую? Но, не тратьте время. До тех пор, пока я могу понимать классику, буду читать ее. Тут проблема больше в том, что какая книга классика еще где-то узнать нужно. Чтение чего-то упрощенного того не стоит. Вот последнее место, где я получил по лбу.
http://web.kpi.kharkov.ua/apm/wp-content/uploads/sites/82/2020/05/Mihlin-Kirillova-Variatsionnoe-ischislenie-Kratkoe-izlozhenie.pdf

Цитата:

Экстремум функционала (1), который достигается на множестве непрерывных дифференцируемых функций, близких в смысле близости первого порядка, называется слабым. Ясно, что слабый экстремум одновременно является и сильным. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Если не потяну(я о теории меры), то все грустно, я не из особо умных... но стараюсь быть оптимистом.

[vpb]

Ivan_B в сообщении #1493704 писал(а):

Вот последнее место, где я получил по лбу.

Понять что-то путное из краткой методички --- это маловероятно вообще. Надо толстые учебники читать, и возможно более расслабленные. Конкретно про вариационное исчисление не скажу, не моя область. Могу только присоветовать книжку из "Библиотеки Кванта" Тихомиров, Рассказы о максимумах и минимумах, и учебник мехмата МГУ Алексеев, Тихомиров, Фомин, Оптимальное управление.

Ivan_B в сообщении #1493704 писал(а):

Но, не тратьте время.

Главная задача данного форума --- как раз помогать любознательной и трудолюбивой молодежи, даже если это требует некоторой затраты времени. Так что всё в порядке.

Ivan_B в сообщении #1493704 писал(а):

Тут проблема больше в том, что какая книга классика еще где-то узнать нужно.

Самое первое, что приходит в голову --- Колмогоров и Фомин, 5-я глава (замечу, что главы 3, 4 для этого не нужны). Еще, тоже из МГУшных книжек --- Богачев и Смолянов, Действительный и функциональный анализ, главы 1--3.

Можно почитать и Халмоша, только надо быть предупрежденным о некоторых его особенностях:
1) Изложение излишне общее и абстрактное;
2) Рассуждения от общего к частному, а не наоборот;
3) Изложение слишком краткое.
Он, собственно, больше подходит для того, чтоб упорядочить и расширить знания человека, который уже имеет понятия о том, что такое мера, а не для первого знакомства. И главу "Предварительные сведения" можно пропустить.

В учебниках матанализа, более современных, чем Фихтенгольц, про меру тоже пишут часто.
(Пока пошлю, позже будет продолжение.)

[vpb]

Вот, кстати, в учебнике Архипов-Садовничий-Чубариков, Лекции по математическому анализу, простейшие сведения про меру и интеграл Лебега неплохо написаны, по-моему.

[ewert]

Да, ничего так. Только вот у них в Определении 1 (в самом начале Лебега) явный ляп. Они там по рассеянности обозначили через $H$ одновременно и покрытие фигуры прямоугольниками (т.е. их совокупность), и объединение этих прямоугольников ("простейшую фигуру"). Это нехорошо; читать ведь невозможно.

Да, и ещё там один дефект в этом определении есть. Одна и та же простейшая фигура может быть представлена различными объединениями прямоугольников. И если при конечном объединении (мера Жордана) независимость суммарной площади от способа разбиения более или менее очевидна, то в счётном случае её вообще-то надо доказывать. Или хотя бы обратить внимание на этот факт. А они просто зажевали.

[vpb]

ewert
Я внимательно не читал, каюсь. Но в целом согласен, что в этой книжке много плоховатого. Так что огульно похвалил её я без оснований, на самом деле. Но лучше её читать, чем ничего. Более тщательно написанные (типа КФ) --- они сложнее.

[ewert]

Я её вообще не читал. Только пробежал глазами по диагонали про Жордана и Лебега. И вроде навскидку всё нормально. Но вот Определение 1 сформулировано просто безобразно. У них там смешались в кучу кони, люди, причём в неправильном порядке. Надо сначала определять саму простейшую фигуру. Затем -- её площадь (её, а не покрытия! термин "площадь покрытия" допустим лишь в качестве жаргонизма). И лишь потом говорить о покрытии какой-то другой фигуры. У них же всё наоборот.

[Ivan_B]

Огромное спасибо за Ваши ответы!

[Odysseus]

vpb в сообщении #1493716 писал(а):

Самое первое, что приходит в голову --- Колмогоров и Фомин, 5-я глава (замечу, что главы 3, 4 для этого не нужны).

vpb в сообщении #1493740 писал(а):

Более тщательно написанные (типа КФ) --- они сложнее.

Я читал теорию меры по КФ очень давно, но прекрасно помню впечатление, что там было вообще все понятно. Начиналось с простых понятий, постепенно углублялось и расширялось, но при этом все прекрасно и подробно объяснялось, логично и без каких-то пропусков. И же вы сами когда-то писали, что чем толще учебник по математике, тем быстрее он читается.

И еще хорошо помню, что КФ было просто интересно читать. В начале были нужны некоторые усилия чтобы привыкнуть к новым понятиям типа "элементарное множество" и научиться с ними обращаться, но
1) усилия скорее психологические, чем из-за сложной математики, т.е. просто требовалось немного времени,
2) потом было уже не оторваться.
Так что по сравнению с Халмошом и Архиповым-Садовничим-Чубариковым, я бы рекомендовал именно КФ. Т.е. конечно лучше читать что-то, чем ничего, но еще лучше - читать хорошее.

Также я помню параллельно с КФ читал Натансона "Теория функций вещественной переменной", где тоже описание было "неспешным", подробным и интересным. Всегда полезно проходить минимум пару учебников по какой-то теме.

Вообще, для подробных и глубоких книг по математике эффект "сначала нужно привыкнуть, но потом не оторваться" весьма частый. Из наглядных аналогий, вспоминается фильм "Догвилль". Первые мин 20 все очень странно и не понимаешь что это вообще такое, но если не выключить фильм за это время, то потом его выключить уже невозможно.

[FL91]

По теории меры и интеграла есть ещё не большая книжечка (пособие) А. Я. Дороговцев "Элементы общей теории меры и интеграла". Изложение, на мой взгляд, прозрачное. К тому же к каждому пункту прилагаются упражнения, что радует, т. к. можно поработать. Минус: нет теоремы Лебега о дифференцировании интеграла. Надо в другом месте смотреть.